پاورپوینت کامل با عنوان دنباله ها و سری ها در 87 اسلاید

اختصاصی از فی توو پاورپوینت کامل با عنوان دنباله ها و سری ها در 87 اسلاید دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

تعریف دنباله

تابعی را که قلمروش مجموعه اعداد طبیعی و بردش مجموعه غیرتهی A باشد یک دنباله می‌نامیم. اعداد واقع در برد یک دنباله را جملات دنباله و جمله n ام را با نمایش داده و جمله عمومی دنباله می‌گوئیم. بنابراین اگر تابع f از N به A یک دنباله و و مقدار f به ازای n باشد می‌نویسیم. . یک دنباله را بصورت نمایش می‌دهند.
نکته
اگر A=R یا A=Q باشد آنگاه f را بترتیب دنباله حقیقی یا دنباله مختلط می‌نامیم.

تعریف

الف) دنباله صعودی (نزولی) نامیده می‌شود اگر به ازای داشته باشیم:

ب) دنباله ناصعودی (نانزولی) نامیده می‌شود اگر به ازای هر داشته باشیم:

پ) دنباله حقیقی که دارای یکی از ویژگی‌های الف یا ب است، دنباله یکنوا نامیده می‌شود.


ت) دنباله حقیقی را از بالا (پایین) کراندار می‌نامند اگر عدد مثبت M وجود داشته باشد که به ازای هر داشته باشیم:

ث) دنباله کراندار نامیده می‌شود اگر هم از بالا و هم از پایین کراندار باشد. دنباله‌ای که کراندار نباشد بی‌کران است.

همگرایی و یا عدم‌همگرایی دنباله

می‌گوئیم دنباله عددی به عدد L همگراست اگر به ازای هر عدد طبیعی N وجود داشته باشد که:

بعبارت بهتر دنباله فوق به عدد L همگرا است اگر به ازای هر از مرحله‌ای به بعد تمام جمله‌های آن در همسایگی L قرار گیرند. دنباله‌ای که به عددی همگرا نباشد. واگرا نامیده می‌شود. در حقیقت همگرایی دنباله به عدم L هم‌ارز تعریف عدد LL بعنوان حد در بی‌نهایت تابعی است که دنباله را تعریف می‌کند و چون حد تابع در هر نقطه منحصر بفرد است. پس L یکتاست.

سوالی که مطرح می‌شود این است که چه نوع دنباله‌‌هایی همگرا هستند؟

در پاسخ به سوال فوق قضیه مهم زیر را داریم:
قضیه
هر دنباله یکنوا و کراندار همگراست. از مهمترین ویژگی‌های دنباله‌های همگرا کرانداربودن آنهاست. بنابراین دنباله‌های همگرا زیردسته‌ای از دسته دنباله‌های کراندار هستند. عکس این مطلب صحیح نیست یعنی دسته دنباله‌های کراندار زیردسته دنباله‌های همگرا نیست. با توجه به مطالب ذکر شده نتیجه مهم دیگری که می‌گیریم این است که: هر دنباله همگرا کراندار است. اما ممکن است دنباله‌ای کراندار باشد ولی همگرا نباشد مثل دنباله با اینکه کراندار است ولی واگراست. توجه می‌کنیم که در کاربرد قضیه ذکر شده در بالا باید هر دو شرط یکنوایی و کرانداری همزمان برقرار باشد تا نتیجه بگیریم دنباله همگراست. در مثال ذکر شده دنباله یکنوا نیست زیرا به ازای nهای مثبت پاسخ مثبت 1 می‌شود و به ازای nهای فرد پاسخ منفی یک خواهد بود پس یکنوا نیست بلکه نوسانی است بنابراین حد ندارد در نتیجه واگراست.
نکته
دنباله‌های ثابت همگرا هستند یعنی اگر k عدد ثابت دلخواهی باشد آنگاه دنباله ثابت که به ازای هر n با تعریف شده است همگرا به k می‌باشد.

دنباله‌های کشی

دنباله را کشی گویند اگر به ازای هر عدد طبیعی N وجود داشته باشد که
نکته بسیار مهم درباره دنباله‌های کشی این است که هر دنباله کشی همگراست. عکس این مطلب نیز صحیح است یعنی هر دنباله کشی همگراست. این مطلب را بدون اثبات می‌پذیریم.

در مورد دنباله‌ها لازم است بدانیم که

• هرگاه دنباله‌های و به ترتیب به B , A همگرا باشند آنگاه مجموع دو دنباله به همگرا است. ضرب دو دنباله فوق در یکدیگر به همگراست. حاصل تقسیم دو دنباله ذکر شده به همگراست مشروط بر اینکه و هرگز صفر نباشد. هرگاه kk یک عدد ثابت و دلخواه باشد در اینصورت فرض است که جمیع حدود به ازای n بسمت بی‌نهایت گرفته می‌شوند.

نتیجه
هرگاه دنباله واگرا بوده و C عددی مخالف صفر باشد آنگاه دنباله واگرا می‌باشد.
قضیه ساندویچ
هرگاه به ازای هر n بزرگتر از اندیسی چون N و آنگاه نیز خواهد بود. کاربرد مطالب فوق توسط قضیه‌ای وسیع می‌شود که می‌گوید حاصل اعمال یک تابع پیوسته بر یک دنباله واگرا ، دنباله‌های همگراست.
قضیه
هرگاه به L میل کند و تابع f در L پیوسته باشد و در جمیع ها تعریف شده باشد آنگاه:

سری‌ها

شرکت‌پذیری عمل جمع روی مجموعه اعداد حقیقی (مختلط) موجب می‌شود که مجموعهای متناهی بصورت دارای معنی بوده و بدون ابهام باشند. در این قسمت می‌خواهیم تعداد متناهی عدد را به تعداد نامتناهی عدد تعمیم دهیم.

تعریف

دنباله را درنظر بگیرید دنباله جدید را بصورت زیر تعریف می‌کنیم:

را یک سری می‌نامیم و آن را نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "سری سیگمای ". را جمله عمومی سری و را مجموع جزئی nام آن می‌گوئیم. توجه کنید که مجموع n جمله اول سری است و به اینکه n از صفر یا 1 و یا هر عدد دیگری شروع شده باشد بستگی ندارد.

همگرایی و عدم‌همگرایی سری‌ها

سری را همگرا گوئیم در صورتی که دنباله مجموع‌های جزئی آن همگرا باشد. در غیر اینصورت واگرا نامیده می‌شود.

شرط کشی برای همگرایی سری‌ها

سری همگراست اگر و تنها اگر به ازای هر عدد طبیعی N باشد که به ازای هر عدد طبیعی n>N و هر عدد طبیعی P داشته باشیم:

این شرط را شرط کشی برای همگرایی سری‌ها می‌نامند. نتیجه‌ این که اگر سری فوق همگرا باشد آنگاه:

در صورتی که حد فوق مخالف صفر باشد آنگاه سری واگراست. توجه می‌کنیم که از قاعده فوق بیشتر برای اثبات واگرایی سری‌ها استفاده می‌شود زیرا ممکن است حد جمله عمومی برابر صفر باشد ولی سری همگرا نباشد مثل سری موزون با اینکه حد جمله عمومی‌اش برابر صفر است ولی واگراست. بنابراین در مورد حد فوق تنها مطلب و نتیجه قطعی که می‌توان گرفت این مساله است که اگر حد مخالف صفر باشد بطور قطع سری واگراست ولی اگر مساوی صفر شد نمی‌توان نتیجه‌ای گرفت و باید از آزمون‌های مناسب دیگری یاری جست.

با توجه به آنچه که تاکنون در مورد سری‌ها ذکر شد باید متوجه شده باشید که تعیین همگرایی یا واگرایی یک سری از هدف‌های مهم مطالعه سری‌هاست. برای تعیین همگرایی یا واگرایی سری‌های با جمله‌های حقیقی (مختلط) مطالعه سری‌هایی که جمله‌های آنها دارای ویژگی‌های خاصی هستند اهمیت فراوانی دارد از جمله این سری‌ها ، سری‌های متناوب ، سری‌های تلسکوپی و سری‌های با جمله‌های مثبت هستند.

تعریف سری متناوب

سری را که در آن دنباله‌ای جمله‌های مثبت ، نزولی و همگرا به صفر است یک سری متناوب نامیده می‌شود.

تعریف سری تلسکوپی

اگر دنباله‌های و توسط رابطه بهم مربوط باشند. و اگر وجود داشته باشد آنگاه سری که سری تلسکوپی نامیده می‌شود همگراست و داریم:

تعریف سری‌های با جمله‌های مثبت

اگر تمام جمله‌های دنباله نامنفی باشند آنگاه سری یک سری با جملات مثبت نامیده می‌شود.

آزمون‌هایی که برای تعیین همگرایی و واگرایی سری‌ها مورد استفاده است

آزمون مقایسه
سری‌های با جمله‌های نامنفی و را درنظر می‌گیریم:


الف) اگر به ازای هر عدد طبیعی n ، باشد و اگر همگرا باشد آنگاه سری نیز همگراست.


ب) اگر به ازای هر عدد طبیعی n ، و واگرا باشد آنگاه سری نیز واگراست.

آزمون مقایسه از نظر علمی این کاستی را دارد که بدون اطلاع از نوع برخی سری‌ها نمی‌توان نوع برخی دیگر را تعیین کرد.
آزمون نسبت یا قاعده دالامبر
اگر به ازای هر n ، و موجود و مساوی a باشد آنگاه:
الف) اگر a
ب) اگر a>1 آنگاه سری واگراست.
ج) اگر a=1 نتیجه ای نمی‌توان گرفت.
از این آزمون برای سری‌هایی که دنباله آنها بصورت فاکتوریل و یا توانی است می‌توان استفاده کرد.
آزمون ریشه
اگر به ازای هر عدد طبیعی n ، و وجود داشته و مساوی L باشد آنگاه:
الف) سری همگراست اگر L
ب) سری واگراست اگر L>1 باشد.
ج) نتیجه‌ای نمی‌توان گرفت اگر L=1 باشد.
آزمون انتگرال
تابع f با ویژگی‌های زیر را درنظر بگیرید:
الف) f روی مجموعه تعریف شده، پیوسته و مثبت است.
ب) به ازای هر و .
پ) f نزولی است و داریم: n ، و .
در اینصورت نوع سری و نوع انتگرال یکی است. یعنی شرط لازم و کافی برای همگرایی سری ذکر شده همگرایی انتگرال فوق است.

فهرست مطالب:

دنباله

تعریف

مثال

دنباله همگرا

دنباله واگرا

اثبات

مثال

دنباله صعودی

دنباله نزولی

مثال

دنباله کوشی

قواعد محاسبه

مثال

قضیه ساندویچ

مثال

سری

تعریف

مثال

سری همگرا

شرط کوشی برای همگرایی

سری هندسی

جبر سری ها

همگرایی مطلق 

همگرایی مشروط

سری متناوب

مثال

آزمون های همگرایی

آزمون مقایسه

مثال

صورت حدی آزمون مقایسه

مثال

آزمون نسبت دالامبر

مثال

آزمون انتگرال

مثال

سری توانی

مثال ها

پیوستگی، مشتق و انتگرال سری توانی

مثال

سری دوجمله ای

مثال

بسط تیلور

بسط مک لورن

مثال

و...

کد متن باز مدلسازی جریان سیال غیرنیوتنی با خاصیت توانی در محفظه با سرپوش متحرک+ مستندات و راهنمای کامل

اختصاصی از فی توو کد متن باز مدلسازی جریان سیال غیرنیوتنی با خاصیت توانی در محفظه با سرپوش متحرک+ مستندات و راهنمای کامل دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

در این برنامه برای مدلسازی جریان سیال غیرنیوتنی با خاصیت توانی در محفظه­ای با سرپوش متحرک، از روش شبکه بولتزمن با مدل سرعتی D2Q9 استفاده شده است. جهت مدلسازی رفتار سیال غیرنیوتنی از  یکی از جدیدترین مدل­ها با دقت مرتبه دو استفاده شده است. گفتنی است که برای دیواره­های ثابت از شرط مرزی بازگشت به عقب و برای دیواره متحرک از شرط مرزی سرعت معلوم استفاده شده است. لازم به ذکر است که برای به حدالاقل رساندن تعداد پارامترها، تمام ورودی و خروجی­ها اعداد بی­ بعد هستند و برای وارد کردن آنها از فایلهای همراه کد استفاده می­شود و نیازی به ورود به بدنه کد نمی باشد. جهت اعتبارسنجی کد نیز ایندکس توانی برابر یک قرار داده شده و با حلهای معیار معتبر مقایسه شده است.

این برنامه به زبان فرترن نوشته شده و در دو فرمت 90 و 95 ارائه شده است.

برای دانلود ورژن رایگان برناه به وبلاگ شبکه بولتزمن ایرانی مراجعه نمایید.

تحقیق در مورد سریهای توانی

اختصاصی از فی توو تحقیق در مورد سریهای توانی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

فایل بصورت ورد (قابل ویرایش) و در 135صفحه می باشد.

ک سری به شکل * که در آن  و.... اعدادی ثابت هستند، یک سری توانی از x  می نامند . معمولاً برای راحتی سری *به صورت  می نویسد در حالت کلی تر سری توانی به صورت است .

اگر به جای x مقدار ثابت r در نظر بگیریم سری توانی  به یک سری عددی تبدیل می شود و همگرایی آن از روشهای همگرایی سری های عددی استفاده می شود .

نکته : هرگاه سری توانی  به ازاء x=r که  همگرا باشد ، آنگاه به ازاء هر x که به طور مطلق همگرا است هرگاه سری به ازاءx=s واگرا باشد آنگاه به ازاء هر x که  نیز واگرا است .

تعریف بازه همگرایی: مجموعه نقاطی که به از‌ ‌آنها سری  همگرا باشد ، همواره یک بازه است که به آن بازه ، بازه همگرایی می گویند.

نکته: سری توانی  یکی از سه رفتار زیر را دارد :

الف ) سری فقط به ازاءx=0 همگرا است در این صورت بازه همگرایی I بازة [0,0] است

ب ) سری به ازاء هر x همگرا است د راین صورت  است

ج) سری به ازاء مقادیر ناصفری از x همگرا و به ازاء سایر مقادیر واگراست

در این صورت،I یک بازه متناهی به شکل (-R,R],[-R,R),[-R,R],(-R,R)که R>0 است و این بسته به رفتار سری در نقاط x=-R ,x=R است که باید جداگانه بررسی شود . بازه همگرایی I ممکن است شامل یک یا هر دو نقطه انتهای نباشد به عبارت دیگر سری ممکن است به ازاءx=R یاx=-R  همگرا باشد یا نباشد .

شعاع همگرایی :عدد R در نکته فوق شعاع همگرایی سری توانی  نام دارد .

مثال : بازه همگرایی و شعاع همگرایی سری های توانی زیر را به دست آورید .

(‌الف

حل : از آزمون نسبت [1] نتیجه می شود که سری فوق به ازاء x=0 همگرا است زیرا :

مگر آنکه x=0 لذا R=0,I=[0,0]

(ب

حل : آز آزمون ریشه نتیجه می شود که سری به ازاء هر x همگرا است زیرا :

(ج

حل : معلوم می شود که

*

لذا سری به ازاء  به طور مطلق همگرا به ازاء  واگرا می باشد در نتیجه شعاع همگرایی 1 می باشد بازة‌ همگرایی[-1,1) است در واقع به ازاء x=1 سری * به سری توافقی واگرای  تبدیل می شود . ولی به ازاx=-1 به سری متناوب به طور مشروط همگرای  بدل خواهد شد

(د

حل : یک سری توانی است که فقط شامل توانهای زوج x است با استفاده از آزمون نسبت داریم :

لذا سری بطور مطلق همگرا است اگر یا معادلا و واگر است اگر  یادر نتیجه شعاع همگرایی1می باشد. بازه همگرایی بازه بسته
می باشد. در واقع با گذاردن x=-1 , x=1 در سری فوق یکسری بطور مشروط همگرا است .

(و

حل : با استفاده از آزمون نسبت داریم :

لذا سری بطور مطلق همگرا است اگر  و واگراست اگر  در نتیجه شعاع همگرایی سری 5 می باشد . بازه همگرایی بازه بسته [-5,5] می باشد

(هـ

حل : با استفاده از آزمون ریشه [2] داریم :

لذا سری برای هر x همگراست یعنی

(ی

حل : با استفاده از آزمون نسبت داریم :

و لذا اگر  یا به عبارت دیگر سری توانی بطور مطلق همگرا است وبه ازاء سری توانی مفروض به صورتدر می آید که واگرا است لذا بازه همگرایی بصورت است و

مشتق گیری ازسری توانی

مثال : سری هندسی را  در نظر بگیرید این سری به مجموع  می‌گراید هرگاه |x|<1 بنابراین سری توانی  تابع fبا ضابطه  را تعریف می کند لذا :

*

مثال : اگر در * به جای x ، –x قرار دهیم ، داریم :

در * قرار میدهیم x=x² و بدست می آوریم .

چنانچه در * به جای x ، -x² گذاشته شود بدست می آید :

قضیه : اگر یک سری توانی با شعاع همگرایی R>0 باشد ، شعاع همگرایی سری  نیز R است . این قضیه حاکی است که شعاع همگرایی سری حاصل از مشتق گیری جمله به جمله از یک سری توانی مفروض ،‌ همان شعاع همگرایی سری مفروض است .

مثال : درستی قضیه فوق را در مورد سری توانی زیر تحقیق می کنیم:

شعاع همگرایی با استفاده از آزمون نسبت بدست می آید :

پس سری توانی به ازاء |x|<1 همگراست ، لذا شعاع همگرایی اش ، R برابر1 است با مشتق گیری جمله به جمله از سری مفروض ، سری توانی زیر حاصل می شود :

آزمون نسبت را در مورد این سری توانی به کار می بریم وبدست می اوریم :

این سری توانی هم به ازاء|x|<1 همگراست ، لذا شعاع همگرایی اش ،R` ، برابر است چون  درستی قضیه فوق تأیید می شود .

قضیه :

اگر شعاع همگرایی سری توانی برابر R>0 باشد ، شعاع همگرایی سری  نیز برابر R    است .

قضیه :گیریم  یک سری توانی باشد که شعاع همگرایی ‌اش R>0 است آنگاه اگر f` تابعی با ضابطه  باشد ، به ازاء هر x دربارة باز         وجود دارد و به صورت زیر معین می شود :

مثال : سری توانی بدست آورید که  را نمایش دهد

حل :‌ می دانیم که

با توجه به قضیه فوق از دو طرف رابطه بالا مشتق می گیریم داریم :

مثال : نشان دهید که به ازاء هر مقدار حقیقی x داریم :

حل: سری توانی   به ازاء همة‌مقادیرحقیقی x به طور مطلق همگراست (‌چرا؟) بنابراین اگر f تابعی باشد که توسط رابطه زیر تعریف می شود :

*

آنگاه قلمرو f مجموعه تمام اعداد حقیقی است یعنی بازة‌همگرایی () است لذا به ازاء هر عدد حقیقی

لذا به ازاء‌تمام اعداد حقیقی  لذا تابع f در معادله دیفرانسیل  صدق کند که جواب عمومی آن است لذا به ازاء تابع ثابتی مانند C، و چون بنا به*، f(0)=1 پس C=1 و لذا f(x)=e^x

مثال : سری توانی بیابید که e^-x را نمایش دهد

حل :

مثال : نشان دهید

انتگرال گیری از سری توانی

قضیه: فرض کنید یک سری توانی باشد که شعاع همگرایی اشR>0 است در این صورت اگر f تابعی با ضابطه باشد این تابع بر هرزیربازه بسته از (-R,R)  انتگرال پذیر است .وانتگرال f با انتگرال گیری  جمله به جمله از سری توانی مفروض بدست می آید:یعنی اگر x در (-R,R)  باشد آنگاه :

علاوه بر این شعاع همگرایی سری حاصل R است

مثال: سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد

حل:

اگر به جای t²,x قرار دهیم داریم :

به ازاء هر مقدارt    

لذا با انتگرال گیری جمله به جمله ازسری داریم:

این سری توانی،انتگرال را به ازاء تمام مقادیرx نمایش می‌دهد .

مثال : درسری توانی قبل ،مقداررا با دقت سه رقم اعشار محاسبه کنید

حل :

این سری متناوب همگراست که در آن  پس اگر برای تقریب کردن مجموع از سه جمله اول استفاده کنیم خطا از قدر مطلق جمله چهارم کوچکتر خواهد بود از سه جمله اول داریم :

مثال : سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد .

حل : تابع f را که به صورت  در نظر می گیریم داریم :

لذا با جمله به جمله انتگرال گرفتن از سری توانی فوق داریم:

یا معادلش

تمرین : نشان دهید که

مثال : یک سری توانی بیابید که  را نمایش دهد .

حل :‌می دانیم که

با انتگرال گیری جمله به جمله بدست می آوریم :

*

مثال : در * قرار دهید x=1 داریم:

سری دو جمله ای

بنا بر قضیه دو جمله ای هرگاه r عددصحیح نامنفی باشد آنگاه:

*

سری توانی** که در آن  rعدد حقیقی دلخواهی‌است سری درجمله ای نام دارد .اگر r عددصحیح نامنفی باشد ،سری دوجمله ای مختوم بوده و به چند جمله ای* از درجه r تحویل می شود واین سری دارای شعاع همگرایی 1 میباشد (چرا؟) لذا تابع f(x) بر بازه (1،1-) تعریف شده است ، با مشتق گیری جمله به جمله از ** داریم :

که پس از ضرب در  xبه صورت زیر در می آید :

لذا داریم

لذا تابع مجموع y=f(x)    در معادله دیفرانسیل  تحت شرط اولیه y(0)=1 صدق می کند لذا جواب معادله دیفرانسیل می باشد بنابراین:

مثال با استفاده از سری دو جمله ای نشان دهید که :

حل:می دانیم که : با انتگرال گیری از این سری دربازة‌همگرایی داریم :

مثال :‌نشان دهید که :

و با استفاده از آن نشان دهید که

حل : واگذارمی شود .

قضیه تیلور موارد کاربرد آن

قضیه تیلور :فرض کنید f در هر نقطه ازبازة‌I مشتق مرتبه n+1 متناهی داشته ،x,a نقاط دلخواهی از I  باشند در این صورت نقطه ای مانند t بین a و x هست که :

*

فرمول * را فرمول تیلور گویند به  چند جمله ای تیلور به  باقیمانده تیلور گویند .

مثال : تابع f(x)=e^x را بوسیله چهار چند جمله ای تیلور اول خود در مجاورت x=0 تقریب نمایید .

ترکیب e^x بوسیله چند جمله ای مکعبی p₃(x) از همه بهتر است در واقع بنا به قضیه تیلور  که در آن

در نتیجه خطای تقریب  روی تمام بازة مثبت و کوچکتر از مقدار زیر است .

مثال : با استفاده از فرمول تیلورنشان دهید که :

حل : با اختیار f(x)=sinx, a=0,n=4 در فرمول تیلور و توجه به اینکه

داریم :

سریهای تیلور و مک لورن

بنابر فرمول تیلورهرگاه تابع f در هر نقطه از بازة‌I شامل نقطة a دارای مشتق مرتبه n+1ام متناهی باشد ، آنگاه به ازاء هرx/در I

که در آن باقیمانده R_n(x) عبارتست از :

سری متناهی * را در نظر می گیریم بدون توجه به همگرا بودن یا نبودن سری به f سری تیلور f در x=a نامیده می شود .حالتی که سری تیلور f همگرا به f است اهمیت بیشتری دارد در این صورت    مجموع سری تیلور خود می باشد »

قضیه : (محک همگرایی برای یک سری تیلور ): سری تیلور * بر بازة I همگرا به f است اگر فقط اگر به ازاء هر xدر  **

در این صورت اگر ** برقرار باشد آنگاه

به ازاء a=0 سری تیلور *** به صورت زیر تحویل می شود که به آن سری مک لورن گویند :

مثال : سری مک لورن e^x را بیابید

مشروط بر اینکه سری راست همگرا به  باشد برای تحقیق این امر باقیمانده  را بررسی می کنیم :

که t بین x,o قرار دارد واضح است که :

که در آن M ماکزیمم e^{t بر} بازة [0,x] است اگر x>0 یا بر بازة [x,0] است گه اگر x<0 یعنی

بعلاوه به ازا‌ء هر x ثابت

زیرا بنا به آزمون نسبت   بطور مطلق همگرا است ولذا :

مثال سری مک لورن sin x  را بیابید .

سری مک لورنx sin بصورت زیر می باشد

که باقیمانده آن مساوی است با :

که در آن t   بین x,0 است چون به ازاء n,t دلخواه  لذا

ولذا  بنابر این سری مک لورن sin x بر تمام بازه  می باشد.

مثال سری مک لورن تابع  را بدست آورید

مثال سری تیلور sinx را در بیابید

حل : واگذار می شود (راهنمایی  )

مختصات قطبی[3]

مختصات قطبی به صورت زیر تعریف می‌شود:

فرض کنیم یک شعاع یا نیم خط ثابت ،به نام محور قطبی ، باشد که از نقطه ثابت o به نام مبدا یا قطب خارج شده است .

فرض کنید فاصله بین o,p بوده و زاویه بین وپاره خط opباشد که ازبه opدرجهت خلاف حرکت عقربه های ساعت سنجیده میشود،در این صورت گوییم نقطهp به مختصات قطبی  است و p رابا جفت نشان داده ومی نویسیم  p=. اگررا مختص شعاعی ورا مختص زاویه ای pمی نامند .

همچنین rمجاز است مقادیر منفی اختیارکند .این راباتعریف  (r<0) مساوی منعکس فقط نسبت به مبدا o  انجام دهیم .به عبارت دیگربرای یافتن نقطهp به مختصات قطبی ، درعوض در امتدادشعاعی که بامحور قطبی زاویه می‌سازد ،|r| را حد در جهت خلافشعاع می‌رویم  .

مثال نقاط زیر را در دستگاه مختصات قطبی نشان دهید .

نکته :مختصات هر نقطه در دستگاه قائم منحصر بفرد ولی در دستگاه مختصات قطبی منحصر بفرد نیست .اگر نقطه ای غیر ازقطب باشد داریم:

رابطه بین مختصات قطبی و قائم

اغلب مختصات قطبی وقائم با هم به کارمی روند، ‌به این ترتیب که قطب ومحور قطبی رامبدا ومحور x مثبت یک دستگاه قائم می گیرند.در این صورت با توجه به شکل زیر واضح است که نقطه به مختصات قطبی  دارای مختصات قائم زیر است :

مثال : مختصات قائم نقطه به مختصات قطبی داده شده را بیابید .

مثال تمام نمایش های نقطه به مختصات قائم داده شده رادرمختصات قطبی (به انضمام آنهایی که r منفی دارند)پیدا کنید .

نمودار معادلات قطبی

منظور از نمودارتابع * ویا بطورکلی تر معادله **شامل مختصات یعنی مجموعه تمام نقاط با دست کم یک جفت مختصات قطبی که در *و** صدق نمایند .مثلانقطه به مختصات قطبی متعلق به نمودارمعادله است هرمعادله به شکل*و**را یک معادله قطبی گویندونمودار یک چنین معادله یک منحنی قطبی نام دارد.

مثال نمودارمعادله (a>0)r=a دایره ای به شعاع a مرکزقطب 0 است. نمودار (دلخواه) شعاعی است که از 0خارج شده وبا محور قطبی زاویه  می سازد ، اگر  یا خط مابرo است که با  زاویه  می‌سازد اگر شرطی برای rنشده باشد.

آزمون های تقارن

در رسم معادله قطبی همیشه باید تقارن های نمودار را پیدا کنیم .چند آزمون برای اینگونه تقارن ها وجود دارند .مختصات قطبی وقائم را هم زمان به کاربرده، قطب رامبدا مشترک ،محورقطبی رادر امتدادمحورx می‌گیریم.

همچنین نقطه ای غیراز خودقطب ، نقشهای p تحت انعکاس نسبت به محور x مبداومحورG,y نمودارمعادله  باشد دراین صورت از نمایش‌های قطبی نقاط  داده شده

درشکلهای زیر معلوم می‌شود که :

الف: G نسبت به محورX (قطبی ) متقارن است اگرمجموعه جوابهای    همان مجموعه جوابهای  یا   باشد .

ب: G نسبت به مبدا0 (قطب)متقارن است اگرمجموعه جوابهای   همان مجموعه جوابهای یا  باشد.

ج: G نسبت به محورy متقارن است اگرمجموعه جوابهای   همان مجموعه جوابهای یا  باشد .

مثال :نمودارتابعرا رسم کنید

حل: اگر به آسانی معلوم می شود که   لذانتیجه می‌شودکه نمودارنسبت به هر دو محور مختصات و مبدا متقارن است .لذا کافی است نمودار از0تا رسم گردد داریم:

چند نقطه از نمودار را رسم کرده و آنها را با منحنی همواری به هم وصل می کنیم و بقیه شکل را با توجه به خاصیت تقارن رسم می‌کنیم .منحنی بدست آمده را ‌رز چهارپرگویند.

مثال: نمودار تابع  را رسم کنید.

حل: با استفاده از آزمونهای تقارن می بینیم که نمودارفوق فقط نسبت به محور قطبی متقارن است ـ (چرا؟) لذا کافی است نموداراز0تا رسم گردد داریم :

بقیه شکل را با استفاده از تقارن رسم می کنیم .منحنی بدست آمده را دلگون می نامند.

مثال : نمودارمعادله که a>0 رارسم کنید

حل : به ازاء r نامنفی، نمودارمنحنی توپر شکل زیراست که به آن مارپیچ هذلولوی گویند.

چون هرنتیجه می شودکه وقتیاز مقدارمثبت کوچکی تاافزایش می یابدنقطه روی نمودارفوق ازبی نهایت آمده وحول مبداء تاقطب0 درجهت خلاف حرکت عقربه های ساعت می‌پیچد وضمن آن r تدریجا به 0 میل می‌کند .مختصyنقطه pعبارتست از :

این همراه با این امرکه  نشان می‌ دهد که خط y=a  یک مجانب افقی مارپیچ است .برای یافتن بقیه مارپیچ ،نظیر به مقادیر  منعکس منحنی توپر را نسبت به محور y بدست می آوریم که منحنی منقطع در شکل  است .

نکته:نمودارمفروض است .

الف: اگر نام نمودارلیماسون با حلقه داخلی است که شکل تقریبی آن به صورت است.

ب: اگر نموداردلگون نامیده‌می‌شودکه شکل تقریبی آن به صورت است.

ج: اگر  نمودار به صورت  است.

د: اگر نمودار به صورت  است .

نکته : محورتقارن محور y ها و محورقطبی است .

نکته : نموداریا یک رز نام دارد که اگر n فرد باشد رزn پر واگرn زوج باشد رز2n پر دارد .

نکته : نمودارنموداریک دایره به قطر a است.

مساحت درمختصات قطبی

حال به یافتن مساحت A از ناحیه  OCD شکل زیر می‌پردازیم که به شعاع شعاع  و منحنی به معادله قطبی که  محدود شده است ، که درآن f  پیوسته ونامنفی است.

بازه را به تعداد n زیربازه توسط نقاط تقسیم  افراز می‌کنیم.

فرض کنید  در این صورت شعاع های  ناحیه ocD  را به n برش نازک کیک مانندتقسیم می‌کنند.تابع f پیوسته بوده و درنتیجه اگربه قدرکافی کوچک باشد مقدارش در زیر بازه تغیر مختصری خواهد کرد .لذا اگر f  را با مقدارثابتبر بگیریم که نقطه دلخواهی از  است تقریب مناسبی برای آن بدست می‌آید.تعویض با  بر هر یز بازه   معادل تعویض برشها به وسیله قطاعهای مستدیر سایه دار در شکل است .مجموع مساحت های این قطاعها مساوی با  است لذا داریم :

بنابراین:

مساحت بین دومنحنی قطبی

مساحت بین منحنی های از  با فرض اینکه  و از فرمول استفاده
می شود(چرا؟)

مثال : مساحت داخل دلگون  ونیز مساحت خارج این دلگون داخل دایره را بیابید .

حل :درناحیه R₁ داخل دلگون ،حدود انتگرال گیری عبارتنداز:

وشعاع های که ناحیه را دربرمیگیرندبه یک نقطه یعنی قطب جمع میشوندلذا باتوجه به فرمول مساحت نمودارقطبی داریم:

درموردناحیه R₂ خارج دلگون وداخل دایره، حدود انتگرال گیری عبارتند از

و بعلاوه اگر  لذا با توجه به فرمول مساحت بین دومنحنی قطبی داریم:

مثال : مساحت A محصور بهرابیابید.

حل : ابتدا باقراردادن آنرابه مختصات قطبی تبدیل می کنیم دراین صورت بدست می آیدداریم :

طول یک منحنی قطبی

فرض کنید cیک منحنی به معادله قطبی  باشد در این صورتc دارای نمایش پارامتری زیر است :

در این صورت c با طول متناهی خواهدبود

داریم:

لذا:

یا بطورفشرده تر

مثال :محیط دلگون را بدست آورید .

حل :

اما اگر و لذا :

مثال : طول اولین دور مارپیچ ارشمیدسی  را بیابید .

مثال : طول کل مارپیچ لگاریتمی که  را بیابید .

مثال :مساحت A سطح حاصل از دوران لمنیسکات حول محور x را بیابید.

حل: بنابر تقارنA₁دربرابرمساحت سطح حاصل از دوران‌قوس‌  که  حول محور x است .طبق فرمول داریم :

با مشتق گیری از داریم :

لذا داریم :

توابع برداری [4]

- توابع برداری حدوپیوستگی

تابع برداری تابعی  است  که از فضای به تعریف میشود .به طوری که به هر
n تایی مرتب از زیر مجموعه ای مانند