تحقیق در مورد حلقه ها در ریاضی

اختصاصی از فی توو تحقیق در مورد حلقه ها در ریاضی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

لینک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*

فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)

 تعداد صفحه63

فصل دوم

2-1- حلقه و ایده آل :

تعریف : حلقه مجموعه ای است مانند R  همراه با دو عمل دوتایی که معمولا با جمع و ضرب نشان می دهند به طوری که :

1 .        ( R , +   )  گروه آبلی است .

2 .        به ازای هر  R   α , b , c       (α b ) c = α ( b c ) . ( شرکت پذیر ) 

3 .        . (α + b ) c = α c + b c     , α ( b + c ) = α b + α c ( پخشی )

هرگاه  علاوه بر این :

4 .        اگر به ازای هر R    α , b       α b =  b α  گوییم حلقه تعویض پذیر است .

5 .        هرگاه R  شامل عنصری مانند 1 R  باشد بطوری که : به ازای هر R  α  1R . α = α . 1R = α   آنگاه گوییم R  یک حلقه تعویض پذیر یک دار است .

نکته : عنصر همانی جمعی حلقه عنصر صفر نام دارد و با 0  نمایش داده می شود .

تعریف : فرض کنید S , R  حلقه و R → S  : f  یک نگاشت باشد در این صورت f  را همومورفیسم ( یا همومورفیسم حلقه ای ) گوییم اگر و فقط اگر شرط های زیر برقرار باشند:

1 .        به ازای هر R    α . b       f (α + b ) = f (α ) + f ( b )        ؛

2 .        به ازای هر R    α , b               f (α b ) = f (α ) f ( b )       ؛

3 .        f ( 1 R ) = 1 s  

نکته :  اگر      f : A → B   ,  g : B → C  همومورفیسم حلقه ای باشند آنگاه ترکیبشان نیز همومورفیسم حلقه ای است .

تعریف :  فرض کنید R  یک حلقه تعویض پذیر باشد زیر مجموعه I  از R  را یک ایده آل می نامیم اگر شرط های زیر برقرار باشند :

1 .  I  زیر گروه جمعی R  باشد .

2 . R   r  ،        I    i نتیجه بدهد R    ir  ؛

تعریف :  فرض کنید R  یک حلقه تعویض پذیر باشد . مقسوم علیه صفر R  عضوی مانند R r  است که به ازای آن عضوی مانند R   y  با شرط 0R  ≠  r y  .

تعریف :  فرض کنید R  حلقه تعویض پذیر باشد . در این صورت R  را یک دامنه صحیح می گوییم اگر

1 .        R  حلقه صفر نباشد یعنی 0R  ≠  1R  و

2 .        0R  تنها مقسوم علیه صفر R  باشد .

یا به عبارت دیگر اگر R   α , b            α b = 0 R   آنگاه α = 0 R   یا   b = 0s .

لم 2- 1- 1  : اگر R  دامنه صحیح باشد تنها مقسوم علیه صفر حلقه همان عضو صفر حلقه

است .

برهان :  فرض کنید R   α  مقسوم علیه صفر R  باشد آنگاه R   b  وجود دارد بطوری که α b = 0  و    0 ≠  b . چون R  دامنه صحیح است لذا α = 0  یا b = 0  . ولی 0 ≠ b لذا باید α =0  . بنابراین تنها مقسوم علیه صفر α = 0  عضو صفر آن است .

تعریف : یک حلقه یکدار با خاصیت 0 R  ≠ 1 R  را که هر عنصر تا صفر آن یکه باشد حلقه بخشی نامیم .  

تعریف :  فرض کنید R  حلقه تعویض پذیر باشد . عضور وارون پذیر ( یکه ) R عضوی چون R   r  است که به ازای آن عضوی مانند R   u  وجود داشته باشد بطوری که ru=1R  .

تعریف :  فرض کنید R  حلقه تعویض پذیر باشد . می گوییم R  میدان است اگر :

1 .        R  حلقه صفر نباشد یعنی 0R  ≠  1 R 

2 .        هر عضو ناصفر R  وارون پذیر باشد

یا به عبارت دیگر هر حلقه بخشی تعویض پذیر را میدان گوییم .

نکته :  هر میدان دامنه صحیح است ولی عکس این مطلب در صورت متناهی بودن حلقه برقرار است . ( قضیه 1- 6- 3  و 1- 6- 4  از مرجع [ 3 ]  ) .

تعریف :  فرض کنید S , R  حلقه های تعویض پذیر بوده و f  : R → S  یک

همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت هسته f  را که با ker  f  نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می کنیم :    

لم 2- 1- 2  :  فرض کنید S , R  حلقه های تعویض پذیر و f :  R  → S  همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت k e r   f = { 0 R }  اگر و فقط اگر f  یک به یک باشد .

برهان :  فرض کنید R    r ,  و به فرض (  ) f  =  ( r  ) f  . در این صورت

0  =  (  ) f  -  ( r  ) f  =  (  - r  ) f  لذا { 0 }  =  ker  f    - r  . بنابراین = r . یعنی f  یک به یک است . برعکس فرض کنید f  یک به یک باشد و بفرض x  عضو دلخواهی از ker f  باشد در این صورت 0 s  =  ( x )  f  . از طرفی چون 0 s =  ( 0s ) f . بنابراین f ( x ) = 0 s   از طرفی چون f ( 0 R ) = 0 s . بنابراین f ( x ) = f ( 0 R)  و چون f  یک به یک است لذا

x = 0R  .

گزاره 2- 1- 1  :  f  ker  ایده آلی از R  است .

برهان :  فرض کنید    بنابراین داریم f  ( β ) = 0 s  و f (α ) = 0 2  . از طرفی می دانیم f (α + B ) = f (α ) + f  ( β ) = 0 s + 0 s = 0 s    لذا 

Ker  f  α + β  . از طرفی برای R  r   اگر f  ker   κ آنگاه

r ( f ( κ )) = r f ( κ ) = f  ( r κ ) = 02  بنابراین f   ker   rκ  .

تعریف :  فرض کنیده S , R  حلقه های تعویض پذیر و f  :  R  → S  همومورفیسم حلقه

ای باشد در این صورت تصویر f  را که با f  I m   نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می شود :              {  R   x  : ( x  )  f  }  =  ( R  )  f  =  I m  f   .

تذکر :  به وضوح f  پوشاست اگر و فقط اگر S  =  f  I m  .

نکته :  فرض کنید   لذا داریم   . یعنی هر چه i  کوچکتر  شود اشتراک رو به بالا می رود و .  لذا اگر  ø  =  I   آنگاه خودمان تعریف می کنیم که  . و اگر ø  =  قرار داد می کنیم  R =      .

تعریف :  فرض کنید A , B  دو ایده آل از حلقه تعویض پذیر R  باشند . آنگاه حاصل ضرب دو ایده آل A , B  را با AB  نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می شود :

  =  AB  که یک ایده آل از حلقه R  است. در حالت کلیتر اگر   ایده آل هایی روی R  باشند آنگاه :