دانلود تحقیق در مورد شرکت پارس متال

اختصاصی از فی توو دانلود تحقیق در مورد شرکت پارس متال دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

دانلود تحقیق در مورد شرکت پارس متال

فرمت فایل: ورد

تعداد صفحات: 17

مقدمه:

شرکت پارس متال در سال 1343 واقع در کیلومتر 7 جاده مخصوص کرج تاسیس گردید و در سال 1347 به بهره برداری رسید. فعالیت کارخانه در زمینه تولید انواع لوله های چدنی به روش ریخته گری گریز از مرکز و اتصالات به روش ریخته گری در قالبهای ویژه شروع گردید و طی سالیان متمادی راه اندازی خطوط ریخته گری اتوماتیک و نیمه اتوماتیک مانند خطوط فیتینگ، گیزاگ و دیزاماتیک با تولید انواع قطعات از قبیل: گلوله های آسیاب صنایع سیمان، فولاد و مس، انواع قطعات خودرو غلطک های تبریدی، انواع پوسته های موتور، انواع بوش سیلندر، قاب و درپوش کانالهای تاسیساتی و غیره جزء پیشگامان صنایع ریخته گری ایران بوده و در کنار تولید سالانه 27000 تن انواع محصولات ریخته گری، با استفاده از مدرن ترین آزمایشگاهها و مرکز تحقیقات و توسعه پژوهشهای وسیعی در شناسایی و کاربرد آلیاژهای جدید مطابق با تکنولوژی روز را فراهم نموده است.

از آنجائیکه طراحی ساختار یک کارخانه از مهمترین و تاثیرگذارترین عوامل بر کارایی و کیفیت تولید کارخانه است، شاید بتوان پروژه این درس را یکی از وسیعترین و جامع ترین پروژه ها دانست.

در این میان نوع کارخانه و شرایط حاکم بر آن یکی از عوامل تعیین کننده در حجم کار و میزان سختی ارائه الگو می‎باشد. از این حیث شاید بتوان پروژه حاضر را از پیچیده ترین و پرکارترین پروژه ها دانست چرا که این پروژه برای کارخانه ای از کارخانجات بزرگ ریخته گری در ایران طراحی و اجرا شده است.

واضح است که بسیاری از تعاریفی که در مورد سایر کارخانجات تولیدی و مونتاژی شده است و کتاب ها براساس آن تنظیم شده اند در مورد یک کارخانه ریخته گری و با این ابعاد کمتر قابل اجرا خواهد بود حتی آیتم‌های گزارش داده شده برای پروژه نیز در این میان باید کمی تعدیل شده و یا تغییر می‌کردند.

این مسئله وقتی اهمیت پیدا می کند که بدانیم کارخانه ای با این وسعت و سابقه کمتر کار کارشناسی در این زمینه انجام داده است. کوچکترین اطلاعات هم باید شخصاً‌ و با مصاحبه با افراد بدست می‌آمد. هیچ نقشه کاملی حتی از خود کارخانه وجود نداشت. کلیه نقشه‌ها توسط نویسندگان این پروژه و با بررسی وضع موجود و استفاده از نقشه‌های ناقص قبلی، طراحی و آماده شد.

جالب است که بدانید نتایج حاصل از این پروژه مورد توجه مسئولین کارخانه هم قرار گرفت و حتی پیشنهادی از طرف کارخانه برای ادامه همکاری در مورد سایر پروژه‌ها نیز گردید که هم اکنون در حال اجرا می‌باشند. این مساله ما را تشویق کرد که بجای این که صرفاً کاری آکادمیک ( که در اکثر موارد غیرقابل استفاده است.) انجام دهیم، متن پروژه و نتایج آن را به گونه‌ای آماده کنیم که کاملاً قابل اجرا و عملی باشد و تصور می‌کنیم تا حدودی در این کار موفق بوده‌ایم. هر گونه ایرادی در این پروژه متوجه نویسندگان آن می‌باشد و خواهشمندیم که حتی الامکان در این موارد به ما آگاهی های لازم داده شود.

تحقیق در مورد حقوق

اختصاصی از فی توو تحقیق در مورد حقوق دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

تحقیق در مورد حقوق

تعداد صفحات:47

فرمت فایل: ورد

مقدمه

در زبان فارسی کلمه حقوق بدو معنی استعمال می‌شود الف: مجموع مقرراتی که بر افراد یک جامعه در زمان معین حکومت می‌کند. انسان موجود عاقلی است و از آغاز کار به خوبی تشخیص داد که تمام اجتماع او با هرج و مرج و زورگویی امکان ندارد و بناچار باید قواعدی بر روابط اشخاص از این جهت که عضو جامعه‌اند حکومت کند و ما امروز مجموع این قواعد و مقررات را حقوق می‌نامیم. خصوصیت قواعد حقوقی در این است که اجرا آن از طرف جامعه تضمین شده و هیچکس یارای تجاوز به آن را ندارد و از همین جا تفاوت اساسی حقوق و اخلاق نیز ظاهر می‌گردد. حقوق را به معنایی که گفته شد حقوق ذاتی هم می‌نامند.

ب. برای تنظیم روابط مردم و حفظ نظم در اجتماع حقوق موضوعه برای هر فرد امتیازاتی در برابر دیگران می‌شناسد و توانایی خاصی به او اعطا می‌کند که حق می‌نامند و جمع آن حقوق است و حقوق فردی نیز گفته می‌شود. سپس حق حیات، حق مالکیت، حق ابوت، نبوت و حق زوجیت و امثال آن به اعتبار معنی اخیر است ولی کلمه حقوق به معنی اول همیشه به جمع استعمال می‌شود و برای نشان دادن مجموعه نظامات و قوانین است: از قبیل حقوق ایران حقوق مدنی، حقوق بین المللی، حقوق اسلام.

درحقیقت روابط بین افراد در اجتماع همواره بر مقررات و قواعدی استوار است که جامعه به آنها بنظر احترام می‌نگرد. آن مقررات و قواعد، موارد عوامل عدیده و اجتماعی است که بسیاری از آنها در ادوار متمادی مورد عمل قرار گرفته و در اثر تکرار عمل، افراد که به آن انس پیدا نموده و رعایت احترام آن را لازم می‌دانند. درجه احترامیکه جامعه به هر یک از مقررات و فوائد اجتماعی می‌گذارد متناسب با قوه تاثیر عاملی می‌باشد که موجب پیدایش آن شده است. مولود عوامل اجتماعی مزبور بر سه دسته‌اند:

عادت، مذهب، اخلاق

مقررات هر یک از آنها دارای کیفر و جزایی است متناسب با عاملی که موجب پیدایش آن شده که در صورت تخلف افراد از آن مقررات، دچار کیفر مزبور می‌گردند چنانکه مقررات عادت و اخلاق دارای جزا و جزائی است که تخلف از آن احساسات افراد جامعه را برعلیه متخلف بر می‌انگیزد و مقررات مذهبی دارای جزاء دنیوی و اخروی است که در حکومت‌های مذهبی جزای دنیوی آن اجرا می‌شده و در جامعه‌های سیاسی کنونی در اثر نبودن اقتدارات دینی متروک مانده است و پیروان مذهب به راهنمایی روح ایمان و بیم از مجازات اخروی آن مقررات را می‌نمایند. در جامعه‌های سیاسی به منظور برقراری نظم اجتماعی مقرراتی وضع می‌شود و برای متخلفین از آن جزاء کیفری و مدنی معین می‌گردد و به کمک حکومت‌های خود آن را اجرا می‌کنند اینگونه قوانین سرچشمه خود را عموماً از عادات و اخلاق و مذهب می‌گیرند و تأثیر آنها در قوانین موضوعه حتمی می‌باشد و مقنین هر چه بخواهند خود را ازتاثیر آنها دور دارند موفق نمی‌شوند زیرا مقننین خود تربیت شده عوامل محیط هستند و افکارشان خواه ناخواه تحت تاثیر واقع شده و به آنها خوگرفته است. در موارد بسیاری عوامل اجتماعی دیگری مانند عوامل اقتصادی، بهداشتی، سیاسی، تجاری و بالاخره احتیاجات موجب وضع قوانین می‌گردد. در تمامی موارد نظریات علمی حقوق راهنمای تضمین می‌باشد و تاثیر آن گاه چندان است که مقنین را از رعایت اصول مسلمه اجتماعی باز می‌دارد قوانین مصوبه به صورت مجموعه‌هایی در آمده و در دسترس افراد گذاشته می‌شود تا طبق آن قوانین عمل کنند و دادرسان در مورد بروز اختلافات بین افراد طبق آن دعاوی را حل و فصل بنمایند.

اصطلاح حقوق مدنی از رومیان اقتباس شده است در این دولت حقوق مدنی مخصوص اتباع رومی بود و خارجیان حق استفاده از آن را نداشته ولی حقوق بشر به هر انسانی، قطع نظر از تابعیت و ملت او تعلق داشت.

در قرن‌های پانزدهم و شانزدهم میلادی رفته رفته حقوق مدنی به قواعدی که حاکم بر روابط خصوصی افراد بود گفته شد، و حقوقدانان فرانسوی به تجزیه و تحلیل آن پرداختند طبق مقررات این قسمت را که برای ایشان مورد استفاده بود تقلید کردند ولی از قرن هفدهم چنین مرسوم شد که حقوق مدنی را در برابر حقوق عمومی، که ناظر به اساس امپراطوری فرانسه بود قرار می‌دهند.

به این ترتیب اصطلاح حقوق مدنی به فرانسه وارد شده و در سایر قوانین نیز مورد تقلید قرار گرفت با استفاده از ترجمة آن عنوان قانون مصوب 1307 را قانون مدنی بگذاریم.

پس حقوق مدنی ابتدا شامل تمام رشته‌های حقوق خصوصی بوده و کلیة روابط گوناگون اشخاص در آن مطرح می‌شده است ولی بتدریج که روابط اجتماعی توسعه یافت، و هر دسته‌ای از آنها مقتضیات خاصی پیدا کرد، دولتها متوجه شدند که تمام وقایع حقوقی را نمی‌توان یکجا بررسی کرد و رعایت مصالح عموم وحفظ حقوق اشخاص ایجاب می‌کند که برای پاره‌ای از آنها قواعد خاص وضع شود.

مثلاً معلوم شد که تعیین حقوق و تکالیف کارگر و کارفرما با مقررات عمومی امکان ندارد و بخصوص وضع کارگران در دو قرن اخیر ایجاب می‌کند که قانون به حمایت از آنان برخیزد، و ضعفی را که از نظر اقتصادی در برابر کارفرمایان دارند، با وضع مقررات نوین جبران کند. این ضرورت موجب شد که دولتها کم کم مجموعه هایی بعنوان قوانین کار تهیه کنند و حقوق خصوصی بنام حقوق کار یا صنعتی ایجاد گردد.

همچنین نظر به اینکه توسعة روابط تجاری مستلزم این است که بازرگانان بقول و عهد یکدیگر اعتماد پیدا کنند و بشدت از تقلب و تزویر جلوگیری شود و در عین حال قواعد تجاری باید ساده‌تر و با عادات و رسوم مردم در داد و ستد منطبق باشد، رشتة دیگری بنام حقوق تجارت بوجود آید.

پس تمام روابط مالی و خانوادگی اشخاص، که موضوع رشته خاصی قرار نگرفته است، در حقوق مدنی بررسی می‌شود. این حقوق روابط اشخاص را تنها از جهت اینکه عضو جامعه هستند تنظیم می‌کند، و توجهی به شغل و مقام و سایر خصوصیت‌های ایشان ندارد، و شاید به همین جهت است که آن را حقوق مدنی می‌گویند. زیرا قواعد آن، فقط از این لحاظ که شخص عضو جامعه یا مدینه است، بر او حکومت می‌کند

تحقیق در مورد سریهای توانی

اختصاصی از فی توو تحقیق در مورد سریهای توانی دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

فایل بصورت ورد (قابل ویرایش) و در 135صفحه می باشد.

ک سری به شکل * که در آن  و.... اعدادی ثابت هستند، یک سری توانی از x  می نامند . معمولاً برای راحتی سری *به صورت  می نویسد در حالت کلی تر سری توانی به صورت است .

اگر به جای x مقدار ثابت r در نظر بگیریم سری توانی  به یک سری عددی تبدیل می شود و همگرایی آن از روشهای همگرایی سری های عددی استفاده می شود .

نکته : هرگاه سری توانی  به ازاء x=r که  همگرا باشد ، آنگاه به ازاء هر x که به طور مطلق همگرا است هرگاه سری به ازاءx=s واگرا باشد آنگاه به ازاء هر x که  نیز واگرا است .

تعریف بازه همگرایی: مجموعه نقاطی که به از‌ ‌آنها سری  همگرا باشد ، همواره یک بازه است که به آن بازه ، بازه همگرایی می گویند.

نکته: سری توانی  یکی از سه رفتار زیر را دارد :

الف ) سری فقط به ازاءx=0 همگرا است در این صورت بازه همگرایی I بازة [0,0] است

ب ) سری به ازاء هر x همگرا است د راین صورت  است

ج) سری به ازاء مقادیر ناصفری از x همگرا و به ازاء سایر مقادیر واگراست

در این صورت،I یک بازه متناهی به شکل (-R,R],[-R,R),[-R,R],(-R,R)که R>0 است و این بسته به رفتار سری در نقاط x=-R ,x=R است که باید جداگانه بررسی شود . بازه همگرایی I ممکن است شامل یک یا هر دو نقطه انتهای نباشد به عبارت دیگر سری ممکن است به ازاءx=R یاx=-R  همگرا باشد یا نباشد .

شعاع همگرایی :عدد R در نکته فوق شعاع همگرایی سری توانی  نام دارد .

مثال : بازه همگرایی و شعاع همگرایی سری های توانی زیر را به دست آورید .

(‌الف

حل : از آزمون نسبت [1] نتیجه می شود که سری فوق به ازاء x=0 همگرا است زیرا :

مگر آنکه x=0 لذا R=0,I=[0,0]

(ب

حل : آز آزمون ریشه نتیجه می شود که سری به ازاء هر x همگرا است زیرا :

(ج

حل : معلوم می شود که

*

لذا سری به ازاء  به طور مطلق همگرا به ازاء  واگرا می باشد در نتیجه شعاع همگرایی 1 می باشد بازة‌ همگرایی[-1,1) است در واقع به ازاء x=1 سری * به سری توافقی واگرای  تبدیل می شود . ولی به ازاx=-1 به سری متناوب به طور مشروط همگرای  بدل خواهد شد

(د

حل : یک سری توانی است که فقط شامل توانهای زوج x است با استفاده از آزمون نسبت داریم :

لذا سری بطور مطلق همگرا است اگر یا معادلا و واگر است اگر  یادر نتیجه شعاع همگرایی1می باشد. بازه همگرایی بازه بسته
می باشد. در واقع با گذاردن x=-1 , x=1 در سری فوق یکسری بطور مشروط همگرا است .

(و

حل : با استفاده از آزمون نسبت داریم :

لذا سری بطور مطلق همگرا است اگر  و واگراست اگر  در نتیجه شعاع همگرایی سری 5 می باشد . بازه همگرایی بازه بسته [-5,5] می باشد

(هـ

حل : با استفاده از آزمون ریشه [2] داریم :

لذا سری برای هر x همگراست یعنی

(ی

حل : با استفاده از آزمون نسبت داریم :

و لذا اگر  یا به عبارت دیگر سری توانی بطور مطلق همگرا است وبه ازاء سری توانی مفروض به صورتدر می آید که واگرا است لذا بازه همگرایی بصورت است و

مشتق گیری ازسری توانی

مثال : سری هندسی را  در نظر بگیرید این سری به مجموع  می‌گراید هرگاه |x|<1 بنابراین سری توانی  تابع fبا ضابطه  را تعریف می کند لذا :

*

مثال : اگر در * به جای x ، –x قرار دهیم ، داریم :

در * قرار میدهیم x=x² و بدست می آوریم .

چنانچه در * به جای x ، -x² گذاشته شود بدست می آید :

قضیه : اگر یک سری توانی با شعاع همگرایی R>0 باشد ، شعاع همگرایی سری  نیز R است . این قضیه حاکی است که شعاع همگرایی سری حاصل از مشتق گیری جمله به جمله از یک سری توانی مفروض ،‌ همان شعاع همگرایی سری مفروض است .

مثال : درستی قضیه فوق را در مورد سری توانی زیر تحقیق می کنیم:

شعاع همگرایی با استفاده از آزمون نسبت بدست می آید :

پس سری توانی به ازاء |x|<1 همگراست ، لذا شعاع همگرایی اش ، R برابر1 است با مشتق گیری جمله به جمله از سری مفروض ، سری توانی زیر حاصل می شود :

آزمون نسبت را در مورد این سری توانی به کار می بریم وبدست می اوریم :

این سری توانی هم به ازاء|x|<1 همگراست ، لذا شعاع همگرایی اش ،R` ، برابر است چون  درستی قضیه فوق تأیید می شود .

قضیه :

اگر شعاع همگرایی سری توانی برابر R>0 باشد ، شعاع همگرایی سری  نیز برابر R    است .

قضیه :گیریم  یک سری توانی باشد که شعاع همگرایی ‌اش R>0 است آنگاه اگر f` تابعی با ضابطه  باشد ، به ازاء هر x دربارة باز         وجود دارد و به صورت زیر معین می شود :

مثال : سری توانی بدست آورید که  را نمایش دهد

حل :‌ می دانیم که

با توجه به قضیه فوق از دو طرف رابطه بالا مشتق می گیریم داریم :

مثال : نشان دهید که به ازاء هر مقدار حقیقی x داریم :

حل: سری توانی   به ازاء همة‌مقادیرحقیقی x به طور مطلق همگراست (‌چرا؟) بنابراین اگر f تابعی باشد که توسط رابطه زیر تعریف می شود :

*

آنگاه قلمرو f مجموعه تمام اعداد حقیقی است یعنی بازة‌همگرایی () است لذا به ازاء هر عدد حقیقی

لذا به ازاء‌تمام اعداد حقیقی  لذا تابع f در معادله دیفرانسیل  صدق کند که جواب عمومی آن است لذا به ازاء تابع ثابتی مانند C، و چون بنا به*، f(0)=1 پس C=1 و لذا f(x)=e^x

مثال : سری توانی بیابید که e^-x را نمایش دهد

حل :

مثال : نشان دهید

انتگرال گیری از سری توانی

قضیه: فرض کنید یک سری توانی باشد که شعاع همگرایی اشR>0 است در این صورت اگر f تابعی با ضابطه باشد این تابع بر هرزیربازه بسته از (-R,R)  انتگرال پذیر است .وانتگرال f با انتگرال گیری  جمله به جمله از سری توانی مفروض بدست می آید:یعنی اگر x در (-R,R)  باشد آنگاه :

علاوه بر این شعاع همگرایی سری حاصل R است

مثال: سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد

حل:

اگر به جای t²,x قرار دهیم داریم :

به ازاء هر مقدارt    

لذا با انتگرال گیری جمله به جمله ازسری داریم:

این سری توانی،انتگرال را به ازاء تمام مقادیرx نمایش می‌دهد .

مثال : درسری توانی قبل ،مقداررا با دقت سه رقم اعشار محاسبه کنید

حل :

این سری متناوب همگراست که در آن  پس اگر برای تقریب کردن مجموع از سه جمله اول استفاده کنیم خطا از قدر مطلق جمله چهارم کوچکتر خواهد بود از سه جمله اول داریم :

مثال : سری توانی بدست آورید که را نمایش دهد .

حل : تابع f را که به صورت  در نظر می گیریم داریم :

لذا با جمله به جمله انتگرال گرفتن از سری توانی فوق داریم:

یا معادلش

تمرین : نشان دهید که

مثال : یک سری توانی بیابید که  را نمایش دهد .

حل :‌می دانیم که

با انتگرال گیری جمله به جمله بدست می آوریم :

*

مثال : در * قرار دهید x=1 داریم:

سری دو جمله ای

بنا بر قضیه دو جمله ای هرگاه r عددصحیح نامنفی باشد آنگاه:

*

سری توانی** که در آن  rعدد حقیقی دلخواهی‌است سری درجمله ای نام دارد .اگر r عددصحیح نامنفی باشد ،سری دوجمله ای مختوم بوده و به چند جمله ای* از درجه r تحویل می شود واین سری دارای شعاع همگرایی 1 میباشد (چرا؟) لذا تابع f(x) بر بازه (1،1-) تعریف شده است ، با مشتق گیری جمله به جمله از ** داریم :

که پس از ضرب در  xبه صورت زیر در می آید :

لذا داریم

لذا تابع مجموع y=f(x)    در معادله دیفرانسیل  تحت شرط اولیه y(0)=1 صدق می کند لذا جواب معادله دیفرانسیل می باشد بنابراین:

مثال با استفاده از سری دو جمله ای نشان دهید که :

حل:می دانیم که : با انتگرال گیری از این سری دربازة‌همگرایی داریم :

مثال :‌نشان دهید که :

و با استفاده از آن نشان دهید که

حل : واگذارمی شود .

قضیه تیلور موارد کاربرد آن

قضیه تیلور :فرض کنید f در هر نقطه ازبازة‌I مشتق مرتبه n+1 متناهی داشته ،x,a نقاط دلخواهی از I  باشند در این صورت نقطه ای مانند t بین a و x هست که :

*

فرمول * را فرمول تیلور گویند به  چند جمله ای تیلور به  باقیمانده تیلور گویند .

مثال : تابع f(x)=e^x را بوسیله چهار چند جمله ای تیلور اول خود در مجاورت x=0 تقریب نمایید .

ترکیب e^x بوسیله چند جمله ای مکعبی p₃(x) از همه بهتر است در واقع بنا به قضیه تیلور  که در آن

در نتیجه خطای تقریب  روی تمام بازة مثبت و کوچکتر از مقدار زیر است .

مثال : با استفاده از فرمول تیلورنشان دهید که :

حل : با اختیار f(x)=sinx, a=0,n=4 در فرمول تیلور و توجه به اینکه

داریم :

سریهای تیلور و مک لورن

بنابر فرمول تیلورهرگاه تابع f در هر نقطه از بازة‌I شامل نقطة a دارای مشتق مرتبه n+1ام متناهی باشد ، آنگاه به ازاء هرx/در I

که در آن باقیمانده R_n(x) عبارتست از :

سری متناهی * را در نظر می گیریم بدون توجه به همگرا بودن یا نبودن سری به f سری تیلور f در x=a نامیده می شود .حالتی که سری تیلور f همگرا به f است اهمیت بیشتری دارد در این صورت    مجموع سری تیلور خود می باشد »

قضیه : (محک همگرایی برای یک سری تیلور ): سری تیلور * بر بازة I همگرا به f است اگر فقط اگر به ازاء هر xدر  **

در این صورت اگر ** برقرار باشد آنگاه

به ازاء a=0 سری تیلور *** به صورت زیر تحویل می شود که به آن سری مک لورن گویند :

مثال : سری مک لورن e^x را بیابید

مشروط بر اینکه سری راست همگرا به  باشد برای تحقیق این امر باقیمانده  را بررسی می کنیم :

که t بین x,o قرار دارد واضح است که :

که در آن M ماکزیمم e^{t بر} بازة [0,x] است اگر x>0 یا بر بازة [x,0] است گه اگر x<0 یعنی

بعلاوه به ازا‌ء هر x ثابت

زیرا بنا به آزمون نسبت   بطور مطلق همگرا است ولذا :

مثال سری مک لورن sin x  را بیابید .

سری مک لورنx sin بصورت زیر می باشد

که باقیمانده آن مساوی است با :

که در آن t   بین x,0 است چون به ازاء n,t دلخواه  لذا

ولذا  بنابر این سری مک لورن sin x بر تمام بازه  می باشد.

مثال سری مک لورن تابع  را بدست آورید

مثال سری تیلور sinx را در بیابید

حل : واگذار می شود (راهنمایی  )

مختصات قطبی[3]

مختصات قطبی به صورت زیر تعریف می‌شود:

فرض کنیم یک شعاع یا نیم خط ثابت ،به نام محور قطبی ، باشد که از نقطه ثابت o به نام مبدا یا قطب خارج شده است .

فرض کنید فاصله بین o,p بوده و زاویه بین وپاره خط opباشد که ازبه opدرجهت خلاف حرکت عقربه های ساعت سنجیده میشود،در این صورت گوییم نقطهp به مختصات قطبی  است و p رابا جفت نشان داده ومی نویسیم  p=. اگررا مختص شعاعی ورا مختص زاویه ای pمی نامند .

همچنین rمجاز است مقادیر منفی اختیارکند .این راباتعریف  (r<0) مساوی منعکس فقط نسبت به مبدا o  انجام دهیم .به عبارت دیگربرای یافتن نقطهp به مختصات قطبی ، درعوض در امتدادشعاعی که بامحور قطبی زاویه می‌سازد ،|r| را حد در جهت خلافشعاع می‌رویم  .

مثال نقاط زیر را در دستگاه مختصات قطبی نشان دهید .

نکته :مختصات هر نقطه در دستگاه قائم منحصر بفرد ولی در دستگاه مختصات قطبی منحصر بفرد نیست .اگر نقطه ای غیر ازقطب باشد داریم:

رابطه بین مختصات قطبی و قائم

اغلب مختصات قطبی وقائم با هم به کارمی روند، ‌به این ترتیب که قطب ومحور قطبی رامبدا ومحور x مثبت یک دستگاه قائم می گیرند.در این صورت با توجه به شکل زیر واضح است که نقطه به مختصات قطبی  دارای مختصات قائم زیر است :

مثال : مختصات قائم نقطه به مختصات قطبی داده شده را بیابید .

مثال تمام نمایش های نقطه به مختصات قائم داده شده رادرمختصات قطبی (به انضمام آنهایی که r منفی دارند)پیدا کنید .

نمودار معادلات قطبی

منظور از نمودارتابع * ویا بطورکلی تر معادله **شامل مختصات یعنی مجموعه تمام نقاط با دست کم یک جفت مختصات قطبی که در *و** صدق نمایند .مثلانقطه به مختصات قطبی متعلق به نمودارمعادله است هرمعادله به شکل*و**را یک معادله قطبی گویندونمودار یک چنین معادله یک منحنی قطبی نام دارد.

مثال نمودارمعادله (a>0)r=a دایره ای به شعاع a مرکزقطب 0 است. نمودار (دلخواه) شعاعی است که از 0خارج شده وبا محور قطبی زاویه  می سازد ، اگر  یا خط مابرo است که با  زاویه  می‌سازد اگر شرطی برای rنشده باشد.

آزمون های تقارن

در رسم معادله قطبی همیشه باید تقارن های نمودار را پیدا کنیم .چند آزمون برای اینگونه تقارن ها وجود دارند .مختصات قطبی وقائم را هم زمان به کاربرده، قطب رامبدا مشترک ،محورقطبی رادر امتدادمحورx می‌گیریم.

همچنین نقطه ای غیراز خودقطب ، نقشهای p تحت انعکاس نسبت به محور x مبداومحورG,y نمودارمعادله  باشد دراین صورت از نمایش‌های قطبی نقاط  داده شده

درشکلهای زیر معلوم می‌شود که :

الف: G نسبت به محورX (قطبی ) متقارن است اگرمجموعه جوابهای    همان مجموعه جوابهای  یا   باشد .

ب: G نسبت به مبدا0 (قطب)متقارن است اگرمجموعه جوابهای   همان مجموعه جوابهای یا  باشد.

ج: G نسبت به محورy متقارن است اگرمجموعه جوابهای   همان مجموعه جوابهای یا  باشد .

مثال :نمودارتابعرا رسم کنید

حل: اگر به آسانی معلوم می شود که   لذانتیجه می‌شودکه نمودارنسبت به هر دو محور مختصات و مبدا متقارن است .لذا کافی است نمودار از0تا رسم گردد داریم:

چند نقطه از نمودار را رسم کرده و آنها را با منحنی همواری به هم وصل می کنیم و بقیه شکل را با توجه به خاصیت تقارن رسم می‌کنیم .منحنی بدست آمده را ‌رز چهارپرگویند.

مثال: نمودار تابع  را رسم کنید.

حل: با استفاده از آزمونهای تقارن می بینیم که نمودارفوق فقط نسبت به محور قطبی متقارن است ـ (چرا؟) لذا کافی است نموداراز0تا رسم گردد داریم :

بقیه شکل را با استفاده از تقارن رسم می کنیم .منحنی بدست آمده را دلگون می نامند.

مثال : نمودارمعادله که a>0 رارسم کنید

حل : به ازاء r نامنفی، نمودارمنحنی توپر شکل زیراست که به آن مارپیچ هذلولوی گویند.

چون هرنتیجه می شودکه وقتیاز مقدارمثبت کوچکی تاافزایش می یابدنقطه روی نمودارفوق ازبی نهایت آمده وحول مبداء تاقطب0 درجهت خلاف حرکت عقربه های ساعت می‌پیچد وضمن آن r تدریجا به 0 میل می‌کند .مختصyنقطه pعبارتست از :

این همراه با این امرکه  نشان می‌ دهد که خط y=a  یک مجانب افقی مارپیچ است .برای یافتن بقیه مارپیچ ،نظیر به مقادیر  منعکس منحنی توپر را نسبت به محور y بدست می آوریم که منحنی منقطع در شکل  است .

نکته:نمودارمفروض است .

الف: اگر نام نمودارلیماسون با حلقه داخلی است که شکل تقریبی آن به صورت است.

ب: اگر نموداردلگون نامیده‌می‌شودکه شکل تقریبی آن به صورت است.

ج: اگر  نمودار به صورت  است.

د: اگر نمودار به صورت  است .

نکته : محورتقارن محور y ها و محورقطبی است .

نکته : نموداریا یک رز نام دارد که اگر n فرد باشد رزn پر واگرn زوج باشد رز2n پر دارد .

نکته : نمودارنموداریک دایره به قطر a است.

مساحت درمختصات قطبی

حال به یافتن مساحت A از ناحیه  OCD شکل زیر می‌پردازیم که به شعاع شعاع  و منحنی به معادله قطبی که  محدود شده است ، که درآن f  پیوسته ونامنفی است.

بازه را به تعداد n زیربازه توسط نقاط تقسیم  افراز می‌کنیم.

فرض کنید  در این صورت شعاع های  ناحیه ocD  را به n برش نازک کیک مانندتقسیم می‌کنند.تابع f پیوسته بوده و درنتیجه اگربه قدرکافی کوچک باشد مقدارش در زیر بازه تغیر مختصری خواهد کرد .لذا اگر f  را با مقدارثابتبر بگیریم که نقطه دلخواهی از  است تقریب مناسبی برای آن بدست می‌آید.تعویض با  بر هر یز بازه   معادل تعویض برشها به وسیله قطاعهای مستدیر سایه دار در شکل است .مجموع مساحت های این قطاعها مساوی با  است لذا داریم :

بنابراین:

مساحت بین دومنحنی قطبی

مساحت بین منحنی های از  با فرض اینکه  و از فرمول استفاده
می شود(چرا؟)

مثال : مساحت داخل دلگون  ونیز مساحت خارج این دلگون داخل دایره را بیابید .

حل :درناحیه R₁ داخل دلگون ،حدود انتگرال گیری عبارتنداز:

وشعاع های که ناحیه را دربرمیگیرندبه یک نقطه یعنی قطب جمع میشوندلذا باتوجه به فرمول مساحت نمودارقطبی داریم:

درموردناحیه R₂ خارج دلگون وداخل دایره، حدود انتگرال گیری عبارتند از

و بعلاوه اگر  لذا با توجه به فرمول مساحت بین دومنحنی قطبی داریم:

مثال : مساحت A محصور بهرابیابید.

حل : ابتدا باقراردادن آنرابه مختصات قطبی تبدیل می کنیم دراین صورت بدست می آیدداریم :

طول یک منحنی قطبی

فرض کنید cیک منحنی به معادله قطبی  باشد در این صورتc دارای نمایش پارامتری زیر است :

در این صورت c با طول متناهی خواهدبود

داریم:

لذا:

یا بطورفشرده تر

مثال :محیط دلگون را بدست آورید .

حل :

اما اگر و لذا :

مثال : طول اولین دور مارپیچ ارشمیدسی  را بیابید .

مثال : طول کل مارپیچ لگاریتمی که  را بیابید .

مثال :مساحت A سطح حاصل از دوران لمنیسکات حول محور x را بیابید.

حل: بنابر تقارنA₁دربرابرمساحت سطح حاصل از دوران‌قوس‌  که  حول محور x است .طبق فرمول داریم :

با مشتق گیری از داریم :

لذا داریم :

توابع برداری [4]

- توابع برداری حدوپیوستگی

تابع برداری تابعی  است  که از فضای به تعریف میشود .به طوری که به هر
n تایی مرتب از زیر مجموعه ای مانند