مشخصات این فایل
عنوان: ریاضیات گسسته
فرمت فایل: word( قابل ویرایش)
تعداد صفحات: 47
این مقاله درمورد ریاضیات گسسته می باشد.
خلاصه آنچه در مقاله ریاضیات گسسته می خوانید :
- طریقه نمایش گراف
نقاطP ،Q ،R ،S ،T ،رئوس(Vertices )و خطوطی که رئوس را با هم وصل می کند ضلع (e d g e )نامیده می شودتوجه داریم که محل تلاقی QT وPS یک رأس نیست این دیاگرام را یک گراف(g r a p h ) می نامیم. درجه (d e g r e e )یک رأس A در یک گراف ، برابر تعداد اضلاعی است که رأس A نقطة انتهایی آنها می باشد.لذا درجه Q برابر با4 است. یک گراف را می توان به طرق مختلف نمایش داد مثلاَمی توانستیم ضلع S وP را خارج ا ز مستطیل رسم کنیم چون گرافی را که می سازیم مشخص مجموعه ای از نقاط و راههایی است که آنها را به هم وصل می کند خواص متریک در آنها صادق نیستند لذا از این دیدگاه هردو گرافی که دارای یک ساختار باشند، نمایانگر یک گراف خواهند بود مانند شکلهای(الف و ب).
یالها ممکن است بدون جهت باشندیا جهت داشته باشند که در حالت اخیر آن را گراف جهت دار یا دی گراف می نامیم.
گراف هامیلتونی
ریاضیدان شهیر ایرلندی سر ویلیام هامیلتون (1805-1865) است که وجود جوابی برای بازی » دوددینا« را مورد پژوهش قرار داد.دراین بازی از یازیکن خواسته می شود که راهی در امتداد یالهایی یک دوازده وجهی ( یک چند وجهی منظم با20 رأس،80 یال و12 وجه) چنان بیابد که از هررأس دقیقاَ یک بار بگذرد و سپس به رأس شروع حرکت باز گردد بدین سان این بازی دارای جواب است اگر فقط G یک گراف هامیلتونی باشد.
تعریف: مسیری بین هر دو رأس گراف که از هر رأس دقیقاَیک بار بگذرد.مسیرها میلتونی گویند . مسیری بسته را که از هر دقیقاَ یک بار بگذرد و در آن همه یالها متمایز باشند دور هامیلتونی می نامند. گرافی را گراف هامیلتونی گویند هرگاه دور هامیلتون داشته باشد.
یکی ازمعروفترین مسائل در نظریه گراف،مسئله چهار رنگ است، هر چند که این مسئله در اصل مربوط به نقشه هاست نه گرا فها، اما حل آن با گراف است.
نقشه ای با 48 ایالت همجوار را در نظر بگیرید مسأله این است که کمترین تعداد رنگهایی که لازم است تا نقشه را چنان رنگ آمیزی کنیم که هیچ دو ناحیه هم مرز(که در بیش از یک نقطه هم مرزند و ناحیه یک تکه اند) رنگ مشابهی نداشته باشندد چند تاست؟ گرچه این مسأله بیشتر از لحاظ ریاضی مهم است تا از لحاظ جغرا فیایی، ولی ممکن است برای مثال بر کار نقاشی که می خواهد یک اطلس را رنگ آمیزی کند، و باید بداند که چند رنگ مرکب لازم خواهد داشت اثر بگذارد. قضیه چهار رنگ بیان می دارد که برای رنگ آمیزی هر نقشه ای که بتواند آن را بر روی کاغذ رسم کرد، چهار رنگ کافی است این مسأله برای اولین بار در نیمه اول قرن نوزدهم مطرح شد و تنها حدود بیست سال قبل 977 با استفاده از نظریه گراف قضیه های فراوان و 1200 ساعت از وقت یکی از سریعترین کامپیوترهای زمان توسط دو ریاضیدان به نامهای کنت اپل و ولگانگ هیکن در دانشگاه ایلی نویز حل شد چگونه قضیه چهار رنگ به صورت قضیه ای در نظریه گراف مطرح می گردد؟ اگر به جای هر یک از نواحی نقشه، یک رأس در نظر بگیریم و سپس فقط رأسهای مربوط به نواحی هم مرز زا به یکدیگر وصل کنیم نقشه مورد نظر تبدیل به یک گراف می شودگراف حاصل با نقشه مورد نظر متناظر است. اپل و هیکن با استفاده از یک کامپیوتر سریع به بررسی تعداد زیادی از حالتهای ممکن که پیش از آن از طریق تحلیل ریاضی نشان داده شده بود که بررسی آنها برای اثبات قضیه کفایت می کند پرداختند و به این ترتیب قضیه را ثابت کردند بنابر این مسأله ای که بیش از نیم قرن در مقابل حمله تعدادی از برگترین ریاضیدانهای زمان مقاومت کرده بود، در برابر یک تحلیل کامپیوتری که بر پایه پیشرفتهای ریاضی نظریه گراف بنا شده بوداز پای در امد.می دانیم که عدد کروماتیک (رنگی )یک گراف عبارت است از مینیمم (Minimom ) تعداد رنگی که بتوان رئوس گراف را رنگ زد، طوری که دو رأس همجوار دارای رنگهای یکسان نباشند. بنابر این عدد 4 عدد رنگی گرافی است که متناظر با نقشهای است که برای نثال 48 ایالت دارد که به وسیله عملیات جبری محاسبه می شود....(ادامه دارد)
نمودار ترسیمی روشها و مدلهای گسسته و پیوسته ریاضی :
در این قسمت می خواهیم جایگاه و نقش شاخه های مختلف ریاضی و ارتباط آنها را با همدیگر به وسیله نمودار ترسیم نماییم . کار ریاضیات کاربردی بررسی و تجزیه و تحلیل مسائل جهان مادی فیزیک و دادن مدل ریاضی متناسب با انها و نهایتاً حل آنها با روشهای ریاضی می باشد . سیستم های فیزکی و پدیده های طبیعی ، اجتماعی و اقتصادی و زیستی ، با توجه به این که عناصر مورد بحث در آنها ذاتاً پیوسته یا گسسته باشند ، به دو صورت سیستم گسسته یا پیوسته در نظر گرفته می‌شوند . مدلی که در ریاضیات برای بررسی و تجزیه و تحلیل آنها در نظر می‌گیریم. با توجه به توانائی و مناسبت روشهای ریاضی نیز می تواند به حالت گسسته یا پیوسته در نظر گرفته شود . به عنوان مثال با وجود این که سیستم های فیزیکی اغلب از تعدادی ذرات گسسته مثل اتمها و مولکولها تشکیل شده اند ، اما در عمل پیوسته فرض کردن ماده ، فرض بسیار مناسب و دقیقی است و روش مدلسازی آنها در ریاضیات از طریق حساب دیفرانسیل و انتگرال به نوعی به صورت معادلات دیفرانسیل در می آید . در اینجا سیستم به طور ذاتی گسسته است ولی روشی که برای بررسی آن به کار می بریم ، یک مدل پیوسته می باشد و اینها در قلمرو حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند .
به عنوان مثال دیگر وقتی قانون رشد سرمایه ، رشد جمعیت ، رشد باکتریها و ... را بحث می کنیم این سیستمها به طور ذاتی گسسته هستند ، ولی هم می توان مدل ریاضی آنها را به صورت پیوسته در نظر گرفت که در این موارد باید با انتخاب جامعه‌ای که تقریباً بزرگ است ، متغیر گسسته را به متغیر پیوسته تبدیل نمود . (در مثال قانون رشد سرمایه فرض می کنیم ، تعداد افزوده شده بهره به سرمایه بزرگ باشد و به صورت روزانه به سرمایه اضافه می شود، در این صورت نسبت به عنوان یک متغیر پیوسته در نظر گرفته شود) و یا می توان در سستمی که به طور ذاتی گسسته است مدل گسسته نیز برای بررسی و حل آنها انتخاب کرد ، به معادلات (6) و (7) که به ترتیب جواب مدل گسسته و پیوسته می باشند ، در مثال قانون رشد سرمایه مراجعه شود . در چنین حالتی که سیستم به طور ذاتی گسسته را با یک مدل گسسته ریاضی تجزیه و تحلیل و حل می کنیم ، این به قلمرو ریاضیات گسسته مربوط می شود .
و وقتی که سیستمی را که به طور ذاتی پیوسته است با یک مدل پیوسته بررسی می کنیم ، باز این از قلمرو حساب دیفرانسیل و انتگرال و معادلات دیفرانسیل است ، ولی وقتی که سیستمی را که به طور ذاتی پیوسته است با یک مدل گسسته ریاضی بررسی و حل کنیم ، این به قلمرو آنالیز عددی و محاسبات کامپیوتری مربوط می‌شود. به عنوان مثال وقتی که ریشه معادله را با روشهای عددی به صورت تقریبی محاسبه می کنیم ، در واقع سیستمی را که به طور ذاتی پیوسته است (ریشه در اعداد حقیقی است) با یک مدل گسسته (تشکیل یک دنباله از تقریبهای متوالی ریشه) بررسی می کنیم . چیزی که در اینجا شایان توجه واهمیت است ، این است که از دیدگاه ضرورت مینیمم سازی خطا و انطباق بیشتر مدل ریاضی داده شده به فیزیکی مسئله بهتر است ، مساله فیزیکی پیوسته را با یک مدل ریاضی پیوسته بررسی و حل نمود و همچنین مساله فیزیکی گسسته را با یک مدل ریاضی گسسته حل نمود ، این جاست که اهمیت و نقش ریاضیات پیوسته و ریاضیات گسسته به طور پایاپای مشخص می شود .
بخشی از فهرست مطالب مقاله ریاضیات گسسته
- مقدمه 1
- جایگاه و ضرورت آموزش ریاضیات گسسته در نظام جدید دبیرستان 2
- محتوای کلی ریا ضیات گسسته 3
- تفاوت ریاضیات گسسته و حساب دیفرانسیل و ا نتگرال 4
- مرور تاریخی مباحث مهم ریاضیات گسسته 8
- مفهوم جاگشت 8
- اولین فن حدس زدن 8
- دیریکله 9
- تاریخچه اصل شمول و عدم شمول 9
- نظریه گراف 10
- مسئله پل کونیگسبرگ 10
- طریقه نمایش گراف 11
- گراف هامیلتونی 12
- رابطه های بازگشتی و مبادلات تفاضلی 19
- نمودار ترسیمی روشها و مدلهای گسسته و پیوسته ریاضی 25
- منابع 28
دانلود مقاله ریاضیات گسسته
