لینک پرداخت و دانلود *پایین صفحه*
فرمت فایل : Word(قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه : 43
فهرست مطالب:
نظریه مقدماتی اعداد نظریه تحلیلی اعداد نظریه جبری اعداد نظریه هندسی اعداد نظریه ترکیبیاتی اعداد نظریه محاسباتی اعداد
تاریخچه ی مختصری از مفهوم و پیدایش اعداد
تاریخچه عدد صفر
نظریه اعداد
عجایب عدد7
نظریه اعداد:
بعد از دوران یونان باستان، نظریه اعداد در سده شانزدهم و هفدهم با زحمات ویت Viete، باشه دو مزیریاک Bachet de Meziriac، و بخصوص فرما دوباره مورد توجه قرار گرفت. در قرن هجدهم اویلر و لاگرانژ به قضیه پرداختند و در همین مواقع لوژاندرLegendre (1798)و گاوسGauss (1801) به آن تعبیر علمی بخشیدند. در ۱۸۰۱ گاوس در مقاله Disquisitiones Arithmeticæ حساب نظریه اعداد مدرن را پایه گذاری کرد.
چبیشف Chebyshev (1850) کران‌هایی برای تعداد اعداد اول بین یک بازه ارائه داد. ریمانRiemann (۱۸۵۹) اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از یک عدد داده شده تجاوز نمی‌کند. (قضیه عدد اول) و آنالیز مختلط را در تئوری تابع زتای ریمان Riemann zeta functionگنجاند. و فرمول صریح تئوری اعداد اولexplicit formulae of prime number theory را از صفرهای آن نتیجه گرفت. تئوری همنهشتی congruences از Disquisitiones گاوس شروع شد. او علامت‌گذاری زیر را پیشنهاد کرد: mod(c)
چبیشف در سال ۱۸۴۷ به زبان روسی کاری را در این زمینه منتشر کرد و سره Serret آن را در فرانسه عمومی کرد. بجای خلاصه کردن کارهای قبلی، لوژاندر قانون تقابل درجهٔ دوم را گذاشت. این قانون از استقراء کشف شد و قبلاً اویلر آن را مطرح کرده بود. لوژاندر در کتاب تئوری اعداد Théorie des Nombres (1798) برای حالت‌های خاص آن را ثابت کرد. جدا از کارهای اویلر و لوژاندر، گاوس این قانون را در سال ۱۷۹۵ کشف کرد و اولین کسی بود که یک اثبات کلی ارائه داد. کوشی Cauchy؛ دیریشله Dirichlet (که مقاله Vorlesungen über Zahlentheorie) او یک مقاله کلاسیک است؛ جکوبی Jacobi که علامت جکوبی Jacobi symbol را معرفی کرد؛ لیوویل Liouville ؛ زلر Zeller ؛ آیزنشتین Eisenstein؛ کومرKummer و کرونکر Kronecker نیز در این زمینه کارهایی کرده‌اند. این تئوری تقابل درجه دوم و سوم cubic and biquadratic reciprocity را شامل می‌شود (گاوس؛ جکوبی که اولین بار قانون تقابل درجه سوم cubic reciprocity را ثابت کرد ؛ و کومر).
نمایش اعداد با صورت درجه دوم دوتایی binary quadratic forms مدیون گاوس است. کوشی، پوانسو Poinsot (1845)، لوبکLebesque (1859-1868) و بخصوص هرمیت Hermite به موضوع چیزهایی افزوده‌اند. آیزنشتاین در تئوری صورتهای سه‌گانه پیشتاز است، و تئوری فرم‌ها theory of forms به طور کلی مدیون او و اچ. اسمیتH. J. S. Smith است. اسمیت دسته بندی کاملی از صورتهای سه گانه انجام داد و تحقیقات گاوس در مورد صورتهای درجه دوم حقیقی به فرمهای مختلط افزود. جستجوهایی در مورد نمایش اعداد به صورت جمع ۴، ۵، ۶، ۷، ۸ مربع توسط آیزنشتاین ادامه یافت و اسمیت آن را کامل کرد.
نظریه مقدماتی اعداد
در نظریه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌‌کنند. مسائل تقسیم‌پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌الیه مشترک، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد تام perfect number و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما،قضیه اعداد اول و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند.
حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد بر خلاف ظاهر ساده آن‌ها نیازمند کوشش بسیار و به‌کار گرفتن روش‌های نوین است. چند نمونه:
- حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،
- حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،
- حدس اعداد اول تؤامان در مورد بینهایت بودن زوج‌های اعداد اول،
- حدس کولاتز در مورد تکرار ساده،
- حدس اعداد اول مرسن در مورد بینهایت بودن اعداد اول مرسن و ...
همچنین ثابت شده که نظریه معادلات دیوفانتی تصمیم‌ناپذیر است (به مسئله دهم هیلبرت مراجعه کنید.)
تحقیق در مورد نظریه اعداد