مسئله ها
1. کارگری برای هل دادن صندوقی به جرم 52kg ، نیرویی برابر با 190N در جهت زیر سطح افقی بر آن وارد می کند. صندوق به اندازه 3.3m جابجا می شود. (الف) کارگر، (ب) نیروی گرانش، و (ج) نیروی عمودی وارد بر صندوق از زمین، هر یک چقدر کار روی صندوق انجام می دهند؟
حل: دیاگرام مسأله به صورت زیر است.
(الف)
(ب) زیرا نیروی وزن بر جابجایی عمود است.
(ج) ، چون نیروی قائم بر جابجایی عمود است.
2. جسمی به جرم 106kg با سرعت 51.3 m/s روی خطی راست حرکت می کند. (الف) این جسم را با شتاب کند کننده متوقف می کنیم. چه نیرویی لازم است، جسم طی چه مسافتی متوقف می شود، و این نیرو چقدر کار انجام می دهد؟ (ب) اگر شتاب کند کننده باشد، جواب این پرسشها چه می شود؟
حل:
3. کارگری صندوقی به جرم 25kg را روی سطح شیبداری با زاویه شیب به بالا هل می دهد؛ این کارگر نیرویی برای با 120N ، موازی با سطح شیبدار، به صندوق وارد می کند. صندوق 3.6m جابجا می شود. (الف) کارگر، (ب) نیروی گرانش، و (ج) نیروی عمود بر سطح شیبدار، هر یک چقدر کار انجام می دهند؟
(الف)
(ب)
(ج) ، زیرا نیرو بر جابجایی عمود است.
4. با استفاده از میدان الکتریکی می شود از فلزات الکترون خارج کرد. برای اینکه یک الکترون از تنگستن جدا کنیم، میدان الکتریکی باید 4.5eV کار انجام بدهد. فرض کنید که میدان الکتریکی در طی مسافت 3.4nm اثر می کند. حداقل نیرویی که میدان باید بر الکترون وارد کند تا الکترون از فلز کنده شود، چقدر است؟
حل: از رابطه W=Fd داریم:
5. با استفاده از یک طناب، جسمی به جرم M را با شتاب ثابت رو به پایین g/4 ، به اندازه مسافت d در امتداد قائم پایین می آوریم. (الف) طناب چقدر کار روی جسم انجام می دهد؟ (ب) نیروی گرانش چقدر کار انجام می دهد؟
حل: دیاگرام مسأله به صورت زیر است.
(الف) بنابر قانون دوم نیوتن به ازای داریم لذا بنابراین:
(ب)
6. کارگری جسمی به وزن را روی سطح افقی تا مسافت (یعنی ) منتقل می کند. جسم با سرعت ثابت حرکت می کند و نیروی کارگر در جهت زیر سطح افقی به جسم وارد می شود. ضریب اصطکام جنبشی 21/0است. کارگر چقدر کار روی جسم انجام می دهد؟
حل: دیاگرام مسأله به صورت زیر است.
لذا داریم ولی
بنابراین:
که می دهد:
بنابراین:
7. الواری به جرم را به اندازه با سرعت ثابت، روی سطح شیبداری با زاویه به طرف بالا هل می دهیم. برای این کار، یک نیروی ثابت افقی به الوار وارد می کنیم. ضریب اصطکاک جنبشی بین الوار و سطح شیبدار 19/0 است. (الف) کار نیروی اعمال شده و (ب) کار نیروی گرانشی را حساب کنید.
حل: دیاگرام مسأله به صورت زیر است.
بنابر قانون دوم نیوتن (چون سرعت ثابت است شتاب نداریم a=0) داریم:
چون لذا
لذا
که می دهد و بنابراین در راستای سطح شیبدار داریم:
(ب)
8. قطعه یخی به جرم kg 2/47 روی سطح شیبداری به طول و ارتفاع m 902/0 به طرف پایین می لغزد. کارگری به این قطعه یخ در راستای موازی سطح شیبدار طوری به طرف بالا نیرو وارد می کند که یخ با سرعت ثابت پایین بیاید. ضریب اصطکاک جنبشی میان یخ و سطح شیبدار 110/0 است. (الف) نیرویی را که کارگر وارد می کند و (ب) کاری را که کارگر روی قطعه یخ انجام می دهد، و (ج) کاری را که گرانش روی قطعه یخ انجام می دهد پیدا کنید.
حل: دیاگرام مسأله به صورت زیر است.
چون سرعت ثابت است پس (a =0) بنابر قانون دوم نیوتون داریم:
ولی لذا
زیرا
(ب)
(ج)
9. شکل زیر آرایه ای از قرقره ها را نشان می دهد که به کمک آن کشیدن بار سنگین L به طرف بالا آسانتر می شود. فرض کنید اصطکاک در همه جای سیستم ناچیز است، و وزن کل دو قرقره ای را که بار به آنها وصل است lb 0/20 بگیرید. می خواهید باری به وزن lb 840 را ft 0/12 بالا ببریم. (الف) حداقل نیروی F لازم برای این کار چقدر است؟ (ب) چقدر کار باید در برابر گرانش انجام داد تا بار تا این ارتفاع بالا برود؟ (ج) نقطه اثر نیروی اعمال شده را به چه مسافتی باید حرکت داد تا بار ft 0/12 بالا برود؟ (د) نیروی F چقدر کار باید انجام بدهد تا بار به اندازه مورد نظر بالا برود؟
حل: (الف) lb 215 ، (ب) (ج) ، (د)
10. جسمی به جرم kg 0/5 روی خط راستی بر سطح افقی بدون اصطکاکی حرکت می کند. طی حرکت نیرویی وابسته به مکان بر آن وارد می شود، که به صورت شکل زیر است. این نیرو، طی تغییر مکان ذره از مبدأ تا چقدر کار انجام می دهد؟
حل: مساحت زیر منحنی نیرو – جابجایی = کار انجام شده،
11. جسمی به جرم kg 10 در راستای محور x حرکت می کند. تابع شتاب جسم بر حسب مکان، به صورت شکل زیر است. کار خالص انجام شده روی ذره، طی حرکت آن از x =0 تا چقدر است؟
حل: چون لذا
12. ثابت نیروی فنری است. (الف) چقدر کار لازم است تا فنر، از حالت آزاد، به اندازه mm 60/7 کشیده شود؟ (ب) چقدر کار لازم است تا فنر را، از این حالت، mm 60/7 دیگر بکشیم؟
حل: (الف)
(ب) در اینجا لذا
13. نیروی وارد بر جسمی، است. کار انجام شده طی حرکت جسم از x =0 تا را (الف) با رسم منحنی F (x) و حساب کردن مساحت زیر منحنی و (ب) با محاسبة تحلیلی انتگرال به دست بیاورید.
حل: (الف) با توجه به جدول زیر داریم:
0
0
(ب)
14. (الف) کار انجام شده توسط نیروی شکل زیر را، طی تغییر مکان ذره از تا تخمین بزنید. بازه ها را کوچکتر کنید و ببینید که تا چه حد می توانید به جواب دقیق J6 نزدیک شوید. (ب) معادله تحلیلی این منحنی، است که در آن . کار را با انتگرال گیری به دست بیاورید.
حل: (الف) مساحت هر مستطیل 5/0 است و زیر منحنی درباره [3 و1] در حدود 12 مستطیل که معادل j6 است.
(ب)
15. شکل زیر فنری را نشان می دهد که یک شاخص به انتهای آن متصل است، مجاور فنر، خط کشی که بر حسب میلی متر مدرج شده، آویزان است. مطابق شکل. سه وزنة متفاوت را به نوبت از فنر می آویزیم. (الف) اگر هیچ وزنه ای به فنر آویزان نباشد، شاخص چه عددی را نشان می دهد؟
(ب) وزن W چقدر است؟
حل: چون
لذا با توجه به دو شکل اول (از سمت چپ) داریم:
(ب) وقتی را در یکی از معادله های فوق قرار دهیم و لذا برای شکل سوم داریم.
16. با انتگرال گیری در امتداد قوس، نشان بدهید که کار گرانش، در مثال 4 برابر با –mgh است.
حل:
17. جسمی به جرم kg 675/0 روی میز بدون اصطکاکی قرار دارد و به ریسمانی متصل است که از سوراخی در میز می گذرد؛ جسم با سرعت ثابت روی دایره ای افقی به مرکز این سوراخ حرکت می کند.(الف) اگر شعاع دایره m 500/0 و سرعت m/s0/10 باشد، کشش ریسمان چقدر است؟ (ب) مشاهده می شود که اگر m 200/0 دیگر از ریسمان را به درون سوراخ بکشیم، و در نتیجه شعاع دایره را به m 300/0 برسانیم، کشش ریسمان 63/4 برابر می شود. کل کاری که ریسمان، طی این کاهش شعاع، روی جسم گردان انجام می دهد چقدر است؟
حل: (الف) N 135 ، (ب) J 0/60 .
18. انرژی جنبشی هر یک از این اجسام را در سرعتهای مشخص شده حساب کنید. (الف) یک بازیکن فوتبال به جرم kg110 و با سرعت m/s 1/8 ؛ (ب) گلوله ای به جرم g 2/4 و با سرعت m/s 950 ؛ ناو هواپیما بر نیمیتس به جرم 61400 تن و با سرعت 0/32 گره.
حل:
19. یک الکترون رسانش در مس، در دمای نزدیک به صفر مطلق، eV 2/4 انرژی جنبشی دارد. سرعت آن چقدر است؟
حل: از رابطه داریم:
20. پروتونی در یک شتاب دهنده خطی شتاب می گیرد، در هر مرحله دستگاه، پروتون در جهت حرکتش شتاب می گیرد. اگر پروتون با سرعت اولیه به یکی از این مراحل، که طول آن cm50/3 است وارد شود (الف) سرعت پروتون در پایان این مرحله و (ب) مقدار انرژی جنبشی ای که در اثر این شتاب به انرژی قبلی اش افزوده می شود. چقدر است؟ جرم پروتون است. انرژی را بر حسب الکترون ولت بیان کنید.
حل: (الف)
(ب)
21. نیرویی بر ذره ای، که روی خط راست حرکت می کند، وارد می شود. نمودار سرعت- زمان ذره در شکل زیر نشان داده شده است. علامت (مثبت یا منفی) کاری را که نیرو، در هر یک از بازه های AB ، BC ، CD و DE روی ذره انجام می دهد پیدا کنید.
حل: در فاصله AB ، جسم با شتاب ثابتی حرکت می نماید و چون شتاب جسم در جهت سرعت است، لذا نیرویی وارد بر جسم و جابجایی جسم هم جهت اند، بنابراین کار انجام شده توسط نیروی مورد نظر در فاصله AB مثبت است. در مسیر BC جسم سرعت ثابت دارد، پس شتاب صفر بوده و لذا نیرو و کار هم برابر صفر می باشد. در مسیر CD با گذشت زمان، سرعت جسم با شتاب ثابتی کم می شود، لذا جهت شان مخالف هم است، که می دهد نیروی وارد بر جسم و جابجایی هم جهت های مخالفی دارند و لذا کار انجام شده منفی می باشد. در مسیر DF ، با گذشت زمان، سرعت جسم با شتاب ثابتی زیاد می شود، لذا هم جهت اند و در نتیجه جابجایی و نیرو هم، هم جهت اند، پس کار انجام شده مثبت می باشد.
22. برای سفر به ماه، یک موشک ساترن V به جرم که حامل یک فضاپیمای آپولو است، باید به سرعت گریز (یعنی ) در نزدیکی سطح زمین برسد. سوخت موشک باید حاوی چقدر انرژی باشد؟ آیا عملاً سیستم به همین مقدار انرژی نیاز دارد یا کمتر یا بیشتر؟ چرا؟
حل:
23. اتومبیلی به وزن lb2800 را در نظر بگیرید. این اتومبیل از چه ارتفاعی باید سقوط کند تا انرژی جنبشی آن برابر با همین انرژی در زمانی باشد که با سرعت mi/h55 حرکت می کند؟ آیا جواب به وزن اتومبیل بستگی دارد؟
حل: ft100 ، خیر. توجه کنید که کار انجام شده توسط نیروی گرانشی زمین روی اتومبیل، در سقوط برابر است با W=mgh و چون از قضیه کار – انرژی داریم زیرا ، پس لذا .
24. اتومبیلی به جرم kg 1100 ، با سرعت km/h 46 در جاده ای افقی حرکت می کند. راننده طوری ترمز می کند که اتومبیل kJ 51 انرژی جنبشی از دست می دهد. (الف) سرعت اتومبیل در این حالت چقدر است؟ (ب) ترمز باید چقدر دیگر از انرژی جنبشی اتومبیل را بگیرد تا اتومبیل کاملاً متوقف شود؟
حل: از رابطه داریم لذا (ب) از رابطه به ازای فوق استفاده کنید.
25. بازیکنی توپ بیسبال را با سرعت ft/s120 (یعنی m/s 6/36) پرتاب می کند. درست پیش از آنکه بازیکن دیگری توپ را، در همان ارتفاع بگیرد، سرعت توپ به ft/s 110 (یعنی m/s 5/33) کاهش یافته است. چقدر انرژی در اثر مقاومت هوا از دست رفته است؟ وزن توپ بیسبال az 0/9 است. (g 255= m).
حل:
26. زمین سالی یک بار به دور خورشید می گردد. چقدر کار باید بر زمین انجام داد تا نسبت به خورشید ساکن شود؟ برای به دست آوردن داده های عددی به پیوست ج رجوع کنید، و چرخش زمین به دور محور خودش را در نظر نگیرید.
حل: از رابطه به ازای وقتی و استفاده نمایید.
27. پدر و پسری در حال دویدن اند. جرم پسر نصف جرم پدر اما انرژی جنبشی ای دو برابر انرژی جنبشی پدر است. پدر به اندازه m/s0/1 به سرعت خودش اضافه می کند و انرژی جنبشی اش با انرژی جنبشی پسر برابر می شود. سرعت پسر و سرعت اولیه پدر چقدر بوده است؟
حل: گیریم M ، m و V و به ترتیب جرم و سرعت اولیه پدر و پسر باشد، چون M = 2m لذا
که می دهد (1) . از طرفی پدر m/s 1 بر سرعت اضافه نموده است پس
لذا (2) از این دو رابطه داریم m/s 4/2 V= و m/s 82/4 = .
29. دنباله داری به جرم ، با سرعت نسبی km/s30 ، به زمین برخورد می کند. (الف) انرژی جنبشی دنباله دار را بر حسب «مگاتن TNT» حساب کنید؛ انفجار 1 میلیون تن TNT انرژی ای برابر با آزاد می کند. (ب) قطر حفره ای که در اثر یک انفجار بزرگ ایجاد می شود، با توان یک سوم انرژی آزاد شده متناسب است، و قطر حفره حاصل از انفجار 1 مگاتن TNT برابر با km1 است. قطر حفره حاصل از برخورد این دنباله دار چقدر است؟
حل: (الف)
(ب)
30. یک «بشقاب» پلاستیکی چرخان [فزویی] به جرم g 125 با سرعت m/s 3/12 ، از ارتفاع m 06/1 بالای سطح زمین پرتاب می شود. هنگامی که بشقاب به ارتفاع m 32/2 می رسد، سرعت آن m/s 57/9 می شود. (الف) گرانش چقدر کار روی بشقاب انجام داده است؟ (ب) چقدر انرژی جنبشی در اثر مقاومت هوا از دست رفته است؟ چرخش بشقاب را در نظر نگیرید.
حل: (الف)
(ب)
33. جسمی به جرم g 263 روی فنری قائم که ثابت آن N/cm 52/2 k= است می افتد (شکل زیر). جسم به فنر می چسبد آن را cm 8/11 فشرده می کند تا خودش به حالت سکون لحظه ای برسد. در طی فشرده شدن فنر (الف) نیروی گرانش و (ب) فنر چقدر کار انجام می دهند؟ (ج) سرعت جسم، درست پیش از برخورد به فنر، چقدر بوده است؟ (د) اگر سرعت اولیه جسم دو برابر شود، بیشترین مقدار فشردگی فنر چقدر می می شود؟
حل: (الف)
(ب)
(ج) باید داشته باشیم چون لذا
(د) اگر پس
از طرفی در این حالت داریم
بنابراین که می دهد
24. با تعمیم اثبات حالت یک بعدی معادله 19 ، نشان بدهید که این معادله در حالتهای دو و سه بعدی هم درست است.
حل: گیریم
لذا
حالا متغیر انتگرالگیری سرعت است. از سرعت اولیه تا سرعت نهایی انتگرال می گیریم
35. زنی به جرم kg57 از پلکاانی به ارتفاع m 5/4 در مدتs5/3 بالا می رود. توان متوسطی که باید مصرف کند چقدر است؟
حل:
36. یک دستگاه بالابر، 100 نفر اسکی باز به وزن متوسط N667 را طی s0/55 ، با سرعت ثابت تا ارتفاع m 152 بالا می برد. توان خروجی موتور بالابر، به فرض اینکه هیچ اتلاف ناشی از اصطکاکی در کار نباشد، چقدر است؟
حل:
37. شناگری با سرعت m/s 22/0 در آب شنا می کند. نیروی مقاومت آب، که با حرکت او مخالفت می کند، N 110 است. شناگر با چه توانی شنا می کند؟
حل:
38. دونده ای به جرم kg 2/68 مسافت m 04/7 ابتدای مسافت را در مدت s 60/1 می دود. دونده از حالت سکون شروع به حرکت می کند و شتاب او در این مدت ثابت است. (الف) سرعت او در پایان s 60/1 چقدر است؟ (ب) انرژی جنبشی اش چقدر است؟ (ج) توان متوسط او، طی این s 60/1 چقدر است؟
حل: (الف) از رابطه داریم ، لذا
(ب)
(ج)
39. اسبی گاری ای را با نیروی lb 0/42 که با زاویه بالای سطح افقی اعمال می شود می کشد و با سرعت mi/h 20/6 حرکت می کند. (الف) اسب در مدت min 0/12 چقدر کار انجام می دهد؟ (ب) توان خروجی اسب را، بر حسب hp حساب کنید.
حل: (الف)
(ب)
40. یک شرکت سازنده اتومبیل می گوید که حداکثر توانی که موتور اتومبیلی به جرم kg 1230 می تواند تحویل بدهد، kW 4/92 است. حداقل زمان لازم برای اینکه این اتومبیل از حالت سکون به سرعت m/s 1/29 (یعنی mi/h65) برسد چقدر است؟ در یک آزمون، این زمان برابر با s 3/12 اندازه گیری شده است. علت اختلاف بین این دو زمان چه می تواند باشد؟
حل: از رابطه داریم:
41. کشتی هوایی هیدنبورگ، بالونی بود محتوی گاز هیدروژن که می توانست با استفاده از hp 4800 توان موتورهایش، با سرعت 77 گره حرکت کند. نیروی مقاومت هوا (بر حسب نیوتون) برای این بالون در این سرعت چقدر است؟
حل: از رایه داریم
42. توان کشتی مجلل «ملکه الیزابت دوم» از یک نیروگاه الکتریکی دیزلی جدید تأمین می شود، که جایگزین ماشینهای بخار اولیه آن شده است. بیشینه توان خروجی MW 92 است که در این توان، کشتی با سرعت 5/32 گره حرکت می کند. در این بیشترین سرعت کشتی، پروانه های کشتی چه نیرویی بر آب وارد می کنند؟
حل: از رابطه داریم
43. اتومبیلی به جرم kg 1600 ، با سرعت m/s 26 (یعنی km/h 94) در جاده ای افقی حرکت می کند. اگر کل نیروهای مقاوم N 720 باشد، توان خروجی موتور چند اسب بخار است؟
حل:
44. در هر دقیقه، آب از آبشاری به ارتفاع m 3/96 به پایین می ریزد. فرض کنید 0/58 % انرژی جنبشی ای که آب در طی سقوط کسب می کند، به کمک یک مولد هیدروالکتریکی، به انرژی الکتریکی تبدیل شود. توان خروجی مولد را حساب کنید. (چگالی آب است.)
حل: جرم آبی که در هر ثانیه به پایین می ریزد برابر است با
از طرفی
بنابراین
47. یک جرثقیل قطعه بزرگی از گرانیت به جرم kg 1380 را با سرعت ثابت m/s 34/1 ، از سطح شیبداری بالا می کشد (شکل زیر). ضریب اصطکاک جنبشی بین گرانیت و سطح شیبدار 41/0 است. توان جرثقیل چقدر است؟
حل: دیاگرام مسأله به صورت فوق است.
چون سرعت ثابت است پس شتاب صفر است لذا بنابر قانون دوم نیوتون داریم.
چون لذا
ولی پس
لذا
48. اتومبیلی به وزن از حالت سکون شروع به حرکت در جاده ای افقی می کند و طی s 33 به سرعت mi/h45 (یعنی km/h72) می رسد. (الف) انرژی جنبشی اتومبیل در پایان این s33 چقدر است؟ (ب) توان خالص متوسطی که اتومبیل، طی این s33 ، دریافت کرده است چقدر است؟ (ج) با فرض اینکه شتاب اتومبیل ثابت بوده باشد، توان لحظه ای آن در پایان این s 33 چقدر است؟
حل: (الف)
(ب)
(ج) رابطه تمرین بعد را نگاه کنید.
49. جسمی به جرم m از حالت سکون به طور یکنواخت شتاب می گیرد و طی زمان به سرعت می رسد. (الف) نشان بدهید که کار انجام شده روی جسم، به صورت تابعی از زمان، برحسب و برابر است با، (ب) توان مصرفی جسم را به صورت تابعی از زمان پیدا کنید.
حل: چون جسم از حالت سکون به حرکت در می آید لذا . که در آن سرعت جسم در لحظه t است ولی چون شتاب ثابت است پس و که می دهد بنابراین
برای توان لحظه ای داریم
50. نیرویی بر ذره ای به جرم kg80/2 اثر می کند؛ مکان ذره، برحسب زمان، است، که در آن x برحسب متر و t برحسب ثانیه است. (الف) کار این نیرو، طی s 0/4 اول چقدر است؟ (ب) این نیرو در لحظه s 0/3=t با چه آهنگی روی ذره کار انجام می دهد؟
حل: کار انجام شده توسط نیروی گرانشی برابر است با:
کار انجام شده توسط وزن مقابل (وزنه تعادل) برابر است با
چون سرعت ثابت است، پس شتاب صفر است، لذا برایند نیروهای وارده صفر بوده، پس بنابراین کار نیروی برایند هم صفر است، اگر اندازه کار نیروی موتور باشد داریم لذا و بنابراین
52. اتومبیل به جرم m ، که توان موتور آن مقدار ثابت P است، می تواند پس از پیمودن مسافت x از حالت سکون به سرعت برسد. نشان بدهید که از رابطه زیر به دست می آید
حل: از رابطه داریم ولی لذا پس از طرفی بنابراین که می دهد .
53. (الف) نشان بدهید که توان خروجی هواپیمایی که با سرعت ثابت به طور افقی پرواز می کند متناسب با است. نیروی اصطکاک آئرودینامیکی را بگیرید. (ب) توان موتورها را به چه نسبتی زیاد کنیم تا سرعت هواپیما نسبت به هوا 0/25% زیاد شود؟
حل: (ب) 95/1
54. یک ماشین تیزکن، چرخی به شعاع cm 7/20 دارد و در هر ثانیه 53/2 دور می زند. ابزاری را که باید تیز شود با نیروی N 180 بر لبه چرخ می فشاریم. این ماشین چه توانی دارد؟ ضریب اصطکاک بین ابزار و چرخ 32/0 است.
حل: گیریم نیروی N 180= F در امتداد شعاع و به طرف مرکز چرخ از چاقو بر چرخ وارد می زند. ابزاری را که باید تیز شود با نیروی N 180 بر لبه چرخ می فشاریم. این ماشین چه توانی دارد؟ ضریب اصطکاک بین ابزار و چرخ 32/0 است.
حل: گیریم نیروی N 180=F در امتداد شعاع و به طرف مرکز چرخ از چاقو بر چرخ وارد شود، لذا بنابر قانون سوم نیوتون، چرخ نیز نیروی N 180= N را در خلاف جهت F بر چاقو وارد می کند. پس برای نیروی اصطکاک وارد بر چاقو داریم برای سرعت چرخ داریم، ، لذا
55. یک پله برقی، دو طبقه را که فاصله شان از هم m 20/8 است به هم مرتبط می کند. طول پله برقی m 3/13 و سرعت حرکت آن در راستای خودش cm/s 0/62 است. (الف) فرض کنید پله باید هر دقیقه 100 نفر، به جرم متوسط kg 0/75 را جابجا کند. در این صورت، موتور آن چقدر توان باید تحویل بدهد؟ (ب) مردی به جرم kg 5/83 از پله برقی متحرک بالا می رود و طی s 50/9 به طبقه بالا می رسد. موتور پله برقی چقدر کار روی او انجام می دهد؟ (ج) اگر همین مرد، وسط راه برگردد و به طرف پایین حرکت کند، چنان که در ارتفاع ثابتی باقی بماند، آیا موتور روی او کار انجام می دهد؟ اگر می دهد، چقدر توان برای این کار مصرف می شود؟ (د) آیا راهی (دیگر) به نظرتان می رسد که مرد بتواند روی پله برقی راه برود، بی آنکه توانی از موتور را مصرف کند؟
حل: (الف) kW 0/10 ، (ب) kJ 97/2.
56. یک لوکوموتیو MW 5/1 ، هنگامی که با توان کامل کار می کند، قطار را طی min 0/6 از سرعت m/s 10 به سرعت m/s 25 می رساند. (الف) با چشمپوشی از اصطکاک، جرم قطار را محاسبه کنید. (ب) سرعت قطار را در این بازه به صورت تابعی از زمان (برحسب ثانیه) به دست بیاورید. (ج) نیروی شتاب دهنده به قطار را به صورت تابعی از زمان، در این بازه، به دست بیاورید. (د) مسافتی را که قطار در این مدت می پیماید حساب کنید.
حل: (الف) با استفاده از قضیه کار – انرژی داریم.
(ب) اگر سرعت قطار در لحظه t باشد، داریم لذا
(ج)
(د)
57. که تقریباً مستقل است سرعت است، و مقاومت آئرودینامیک، که متناسب با است. برای اتومبیل خاصی به وزن N 12000 ، کل نیروی مقاوم F برابر است با ، که در آن F بر حسب نیوتون و بر حسب متر بر ثانیه است. موتور چه توانی باید داشته باشد تا بتواند، در سرعت km/h 80 ، به اتومبیل شتاب بدهد؟
حل: hp 69
59. دو ناظر را در نظر بگیرید که چارچوب یکی به زمین متصل است و چارچوب دیگری، مثلاً به قطاری که با سرعت ثابت u نسبت به زمین حرکت می کند. هر دو ناظر مشاهده می کنند که ذره ای، که در ابتدا نسبت به قطار ساکن است، با نیروی ثابتی که در مدت زمان t بر آن وارد می شود، به طرف جلو شتاب می گیرد. (الف) نشان بدهید که از دید هر دو ناظر، کاری که نیرو انجام می دهد برابر است با تغییر انرژی جنبشی ذره، اما یکی از ناظرها این کمیت را می سنجد و دیگری . در اینجا m جرم، و a شتاب ذره است، که از دید هر دو ناظر یکی است. (ب) اختلاف کار انجام شده توسط نیروی یکسان از دید هر دو ناظر را بر حسب اختلاف مسافت اثر این نیرو از دید این دو ناظر توضیح بدهید. اختلاف انرژی جنبشی پایانی ذره از دید دو ناظر را بر حسب کاری که ذره می تواند انجام بدهد تا، نسبت به چارچوب هر ناظر، به حالت سکون برسد توضیح بدهید.
حل: (الف) چون قضیه کار – انرژی یک رابطه کلی است که در اثبات آن از ناظر خاصی استفاده نشده است لذا
در نتیجه، هر دو ناظر یاد شده، کار انجام شده توسط نیروی ثابت مزبور، با تغییر انرژی جنبشی ذره برابر است. ولی برای ناظر داخل قطار و بنابراین و از نظر ناظر روی زمین، و لذا
(ب) از نظر ناظر داخل قطار، اگر x مسافت طی شده ذره در زمان t باشد داریم . ولی از نظر ناظر روی زمین، مسافت طی شده توسط ذره ، در مدت t برابر است که با مقایسه روابط فوق، می بینیم که جابجایی قطار در مدت t نسبت به ناظر روی زمین ut است و وقتی u=0 است داریم . از نظر ناظر داخل قطار کار لازم برای توقف ذره برابر است با
از نظر ناظر روی زمین و لذا
از مقایسه ، maut اختلاف در مقدار کار لازم برای توقف ذره از نظر ناظر آن می باشد، که علت آن حرکت آنها نسبت به هم است.
60. انرژی جنبشی پروتونی را حساب کنید که سرعت آن است. جواب خود را هم بر حسب ژول بر حسب MeV بیان کنید.
حل:
61. الکترونی با چنان سرعتی حرکت می کند که با آن می شود کمربند استوای زمین را طی s 0/1 دور زد. (الف) سرعت این الکترون را، برحسب سرعت نور، بیان کنید. (ب) انرژی جنبشی آن را بر حسب الکترون ولت حساب کنید. (ج) اگر از فرمول کلاسیک برای محاسبه انرژی جنبشی استفاده کنیم، چند درصد خطا خواهیم داشت؟
حل: (الف) 132/0 ، (ب) keV 6/4 ، (ج) کمتر از 3/1 درصد.
62. سرعت الکترونی c 999/0 است. (الف) انرژی جنبشی آن چقدر است؟ (ب) اگر سرعت آن 05/0 % زیاد شود. انرژی جنبشی آن چند درصد زیاد می شود؟
حل: (الف) چون لذا
(ب) در این صورت
لذا پس انرژی جنبشی 43% اضافه می شود.
63. قضیه کار – انرژی در هر سرعتی درست است. چقدر کار باید انجام داد تا سرعت الکترونی به (الف) c 50/0 ، (ب) 99/0 ، و (ج) c 999/0 برسد؟
حل: (الف) چون ولی از رابطه
داریم
(ب) ، (ج)
3. مرکز جرم سیستم زمین – ماه در چه فاصله ای از مرکز زمین واقع است؟ (برای تعیین جرمهای زمین و ماه و فاصله مرکز به مرکز زمین –ماه به پیوست ج رجوع کنید. مقایسه جواب این مسئله با شعاع زمین جالب است.)
حل: چون ، و ، اگر مرجع مرکز زمین باشد داریم.
4. نشان بدهید نسبت فاصله های و دو ذره از مرکز جرم آنها برابر با عکس نسبت جرمهای آنهاست: یعنی .
حل: گیریم دو ذره به فاصله از مبدأ باشند و c نقطه مرکز جرم آنها باشد، لذا، . که فاصله جرم تا مبدأ است و و هم فاصله از مرکز جرم یعنی C می باشد. بنابر تعریف مرکز جرم داریم.
با توجه به دو رابطه قبلی می دهد . ولی چون پس .
5. اتومبیل به جرم kg 2210 در جاده مستقیمی با سرعت km/h 105 در حرکت است. اتومبیل دیگری به جرم kg 2080 با سرعت km/h 5/43 در پی آن در حرکت است. مرکز جرم سیستم متشکل از دو اتومبیل با چه سرعتی حرکت می کند؟
حل:
6. دو اسکیت باز، یکی به جرم kg 65 و دیگری به جرم kg 42 ، روی سطح یخ زده ایستاده اند و دو انتهای تیری به طول m 7/9 را، که جرم آن قابل چشمپوشی است، در دست دارند. آنها «با کشیدن» تیر به طرف یکدیگر شروع به حرکت می کنند تا به هم برسند. اسکیت باز 42 کیلوگرمی چه مسافتی را طی می کند؟
حل: از آنجا که نیروی خارجی ای به آنها وارد نمی شود، و از حالت سکون حرکت شروع می شود، پس مرکز جرم شان ثابت می ماند و در مرکز جرم به هم برخورد می کنند. گیریم مبدأ محل اسکیت باز kg65 باشد بنابراین داریم
چون دو اسکیت باز در مرکز جرم به هم برخورد می کنند، پس اسکیت باز kg متر را طی می کند.
7. مردی به جرم m در پایین نردبان طنابی آویخته از بالونی به جرم M ایستاده است (شکل زیر). بالون نسبت به زمین ساکن است. (الف) اگر این مرد با سرعت (نسبت به نردبان) از نردبان بالا برود، بالون در چه جهتی و با چه سرعتی (نسبت به زمین) حرکت خواهد کرد؟ (ب) وقتی که مرد از صعود باز می ایستد وضعیت حرکت چگونه خواهد بود؟
حل: (الف) داریم
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 97 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
دانلود مقاله مسائل کار و انرژی
