کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار
16-1- مقدمه
تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد که آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل کرده است. نخست به کمک آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل کرد. دوم، در این تبدیل مقادیر اولیة متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند. بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفک فرایند تبدیل اند. اما در روشهای کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل شرایط اولیه زمانی وارد می شوند که می خواهیم ضرایب مجهول را محاسبه کنیم.
هدف ما در این فصل ایجاد روشی منظم برای یافتن رفتار گذرای مدارها به کمک تبدیل لاپلاس است. روش پنج مرحله ای بر شمرده شده در بخش 15-7 اساس این بحث است. اولین گام در استفاده موثر از روش تبدیل لاپلاس از بین بردن ضرورت نوشتن معادلات انتگرالی –دیفرانسیلی توصیف کنندة مدار است. برای این منظور باید مدار هم از مدار را در حوزةs به دست آوریم. این امر به ما امکان می دهد که مداری بسازیم که مستقیماً در حوزة تحلیل شود بعد از فرمولبندی مدار در حوزة sمی توان از روشهای تحلیلی بدست آمده (نظیر روشهای ولتاژ گره، جریان خانه و ساده سازی مدار) استفاده کرد و معادلات جبری توصیف کنندة مدار را نوشت. از حل این معادلات جبری، جریانها و ولتاژهای مجهول به صورت توابعی گویا به دست می آیند که تبدیل عکس آنها را به کمک تجزیه به کسرهای ساده به دست می اوریم. سرانجام روابط حوزه زمانی را می آزماییم تا مطمئن شویم که جوابهای به دست امده با شرایط اولیة مفروض و مقادیر نهایی معلوم سازگارند.
در بخش 16-2- هم از عناصر را در حوزة s به دست می آوریم. در شروع تحلیل مدارهای حوزة s باید دانست که بعد ولتاژ تبدیل شده ولت ثانیه و بعد جریان تبدیل شده آمپر ثانیه است. بعد نسبت ولتاژ به جریان در حوزة s ولت بر آمپر است و بنابراین در حوزة s یکای پاگیرایی ( امپدانس) اهم و یکای گذارایی ( ادمیتانس) زیمنس یا مو است.
16-2- عناصر مدار در حوزة s
روش به دست آوردن مدار هم از عناصر مدار در حوزة s ساده است. نخست رابطة ولتاژ و جریان عنصر در پایانه هایش را در حوزه زمان می نویسم. سپس از این معادله تبدیل لاپلاس می گیریم به این طریق رابطة جبری میان ولتاژ و جریان در حوزة s به دست می آید. سرانجام مدلی می سازیم که رابطة میان جریان و ولتاژ در حوزة s را برآورد سازد. در تمام این مراحل قرارداد علامت منفی را به کار می بریم.
نخست از مقاومت شروع میکنیم، بنا به قانون اهم داریم
(16-1)
از آنجا که R ثابت است، تبدیل لاپلاس معادلة (16-1) چنین است .
(16-2) V=RI
که در آن
بنا به معادلة (16-2) مدار هم ارز یک مقاومت در حوزة s مقاومتی برابر R اهم است که جریان آن Iآمپر – ثانیه و ولتاژ آن V ولت –ثانیه است.
مدارهای مقاومت در حوزة زمان و حوزه بسامد در شکل 16-1 دیده می شود به یاد داشته باشید که در تبدیل مقاومت از حوزة زمان به حوزة بسامد تغییری در آن ایجاد نمی شود.
القاگری با جریان اولیة Io در شکل 16-2 آمده است. معادلة ولتاژ و جریان آن در حوزة زمان چنین است.
شکل 16-1- مقاومت در الف) حوزة زمان ،ب) حوزة بسامد.
شکل 16-2- القا گر L هانری با جریان اولیه Io آمپر.
در حوزة زمان چنین است
(16-3)
پس از تبدیل لاپلاس گرفتن از معادلة (16-3) داریم
(16-4)
به کمک دو مدار مختلف می توان معادلة (16-4) را تحقق بخشید. مدار هم از اول مداری است متشکل از یک امپدانس sL اهمی که با یک منبع ولتاژ مستقل LIo ولت ثانیه ای متوالی است. این مدار در شکل 16-3 دیده می شود در بررسی مدار هم ارز حوزة بسامدی شکل 16-3 توجه کنید که جهت ولتاژ منبع LIo بر مبنای علامت منفی مجود در معادله (16-4) است توجه به این نکته نیز اهمیت دارد که Io علامت جبری مخصوص به خود را دارد. یعنی چنانچه مقدار اولیة I خلاف جهت مبنای I باشد آنگاه Io مقدار منفی دارد.
مدار هم از دیگری که معادله (16-4) را برآورده، می سازد متشکل است از یک امپدانس
SL اهمی که با یک منبع جریان مستقل Io/s آمپر ثانیه ای موازی است. این مدار هم ارز در شکل 16-4 آمده است.
برای به دست آوردن مدار هم از شکل 16-4 راههای مختلفی موجود است. یکی از این راهها حل معادلة (16-4) نسبت به جریان I و ساخت مداری بر حسب معادلة به دست آمده بنابراین
(16-5)
به سادگی مشاهده می شود که مدار شکل 16-4 معادلة (16-5) را برآورده می سازد دو راه دیگر به دست آوردن مدار شکل 16-4 عبارت اند از (1) به دست اوردن هم از نور تن مدار شکل (16-3، (2) به دست آوردن جریان القا گر بر حسب ولتاژ آن و گرفتن تبدیل لاپلاس از معادلة به دست آمده این دو روش به صورت تمرین در مسائل 16-1 و 16-2 به خواننده واگذار می شود.
قابل توجه است که هرگاه انرژی اولیة ذخیره شده در القا گر صفر باشد یعنی اگر Io=o مدار هم ارز القا گر در حوزة بسامد به صورت القا گری با امپدانس sL اهم در می آید. این مدار در شکل 16-5 آمده است.
برای خازنهای با بار اولیه نیز دو مدار هم ارز در حوزة s وجود دارد. خازنی که با بار اولیة Vo ولت در شکل 16-6 دیده می شود. جریان خازن چنین است.
شکل 16-5 مدار خوزة بسامدی القاگری با جریان اولیه صفر.
...
شکل 16-6- خازنی C فارادی که تاVo ولت بار دار شده است.
(16-6)
پس از تبدیل معادلة (16-6) داریم
یا
(16-7) I=sCV-CVo
از معادله فوق دیده می شود که جریان I در حوزة بسامد از دو جریان شاخه ای تشکیل می شود یکی از شاخه ها از یک گذارایی به مقدار sc مو و دیگری از یک منبع جریان مستقل CVo آمپر ثانیه ای تشکیل می شود. این مدار هم ارز در شکل 16-7 آمده است.
از حل معادلة (16-7) نسبت به V می توان مدار هم ارز متوالی خازن باردار را به دست آورد. بنابراین داریم
(16-8)
مداری که در شکل 16-8 آمده است تحقق معادلة (16-8) است.
در مدارهای هم ارز شکلهای 16-7 و 16-8، علامت جبری خود را دارد. یعنی اگر جهت خلاف جهت مبنای باشد مقداری منفی خواهد بود. اگر ولتاژ اولیه خازن صفر باشد مدارهای هم ارز ساده می شوند و تنها امپدانس sc/1 اهمی باقی می ماند که در شکل 16-9 آمده است.
مدارهای حوزه بسامدی به دست آمده در این بخش در جدول 16-1 آمده اند. کاربرد این مدارها در بخش 16-4 نشان داده خواهد شد.
جدول 1016 مدارهای هم ارز در حوزة s
شکل 16-9 مدار حوزة بسامدی خازنی با ولتاژ اولیة صفر
16-3- تحلیل مدار در حوزة s
پیش از بررسی مدارها در حوزة s به ذکر چند نکته می پردازیم که اساس تمام کارهای بعدی ماست.
نخست میدانیم که چنانچه در القا گر و خازنها انرژی اولیه نداشته باشیم رابطة ولتاژ و جریان آنها چنین است.
(16-9) V=ZI
که در آن Z امپدانس (پاگیرایی) عنصر در حوزة s است. به این ترتیب امپدانس مقاومت R اهم، امپدانس القا گر sL اهم، و امپدانس خازن sC/1 اهم است. نکته ای که در معادلة (16-9) آمده است، در شکلهای 16-1(ب)، 16-5، و 16-9 مشخص شده است. گاه معادلة (16-9) را قانون اهم در حوزة s می نامند.
عکس پاگیرایی، گذارایی، گذاراییها در حوزة s دقیقاً همان قواعد ترکیب آنها در حوزة فازبرداری است. در تحلیل حوزة بسامدی می توان از ساده کردنهای متوالی و موازی و تبدیلهای ستاره – مثلث استفاده کرد.
نکتة مهم دیگر این است که قوانین کبرشهف را می توان برای جریانها و ولتاژهای حوزة s به کار برد. دلیل این امراین است که بنا به خواص تبدیل عملیات، تبدیل لاپلاس مجموع چند تابع در حوزة زمان برابر مجموع تبدیل لاپلاسهای یکایک توابع است( جدول 15-2 را ببینید) بنابراین از آنجا که جمع جبری جریانها در یک گروه در حوزة زمان صفر است، جمع جبری جریانهای تبدیل شده نیز صفر خواهد بود. همچنین جمع جبری ولتاژهای تبدیل شده حول مسیری بسته صفر است. قوانین کیرشهف در حوزة s چنین اند.
...
فهرست مطالب
عنوان صفحه
کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار....... 1
16-1- مقدمه........................... 1
16-2- عناصر مدار در حوزة s............. 2
16-3- تحلیل مدار در حوزة s.............. 9
16-4 چند مثال تشریحی................... 10
16-5 تابع ضربه در تحلیل مدار........... 28
16-6 خلاصه............................. 46
17-5- تابع تبدیل و انتگرال کانولوشن... 48
مراجع........................................... 64
...
62 ص فایل Word
دانلود مقاله کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل مدار و انتگرال کانولوشن
